Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(s) y ' ' ± 6 y ' + 13 y = 0 ;   y = e 3 x cos ⁡ 2 x .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO.

Nosso objetivo é verificar se essa solução y realmente é a solução da EDO ou não.

Mas tem ideia do que fazemos para verificar isso?? 🤔🤔

De maneira direta, podemos substituir y e suas derivadas na EDO e ver se a igualdade da equação é satisfeita.

Caso a igualdade seja satisfeita, significa que y realmente é solução da EDO, mas se a equação não for satisfeita significa que y não é solução da EDO.

👍👍

Entendeu? Bora por na prática! 😉😉

Passo 2

Vamos dar uma olhada na EDO e ver quais os dados devemos obter para fazer as substituições.

A EDO é dada por

y ' ' ± 6 y ' + 13 y = 0

Ou seja, uma EDO de segunda ordem. Logo, temos que obter a primeira e a segunda derivada de y antes de substituir na EDO.

Perceba que temos um ± em 6 y ' , ou seja, esse termo pode assumir tanto o sinal positivo quanto o sinal negativo.

Derivando y , temos

y ' = d e 3 x cos ⁡ 2 x d x

Essa derivada é obtida a partir da regra do produto misturado com a regra da cadeia já que y é o produto entre as funções e 3 x e cos ⁡ 2 x , que são funções compostas. Ou seja

y ' = d e 3 x d x · cos ⁡ 2 x + e 3 x · d cos ⁡ 2 x d x

Aplicando a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora) em e 3 x fazendo 3 x = u e em cos ⁡ 2 x fazendo 2 x = v

y ' = d 3 x d x · d e u d u · cos ⁡ 2 x + e 3 x · d 2 x d x · d cos ⁡ v d v

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que as derivadas de e x e cos ⁡ x são e x e - s e n x , respectivamente.

Já as derivadas de 3 x   e 2 x são obtidas pelo método de derivação polinomial, veja só

y ' = 3 x 1 - 1 · e u · cos ⁡ 2 x + e 3 x · 2 x 1 - 1 · - s e n v

Simplificando e organizando o resultado e substituindo u por 3 x e v por 2 x , temos

y ' = 3 e 3 x cos ⁡ 2 x - 2 e 3 x s e n 2 x

Assim, obtemos a primeira derivada de y .

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos derivar o resultado de y ' para obter y ' '

y ' ' = d 3 e 3 x cos ⁡ 2 x - 2 e 3 x s e n 2 x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos

y ' ' = 3 d e 3 x cos ⁡ 2 x d x - 2 d e 3 x s e n 2 x d x

Já sabemos qual é a derivada de e 3 x cos ⁡ 2 x , então podemos substituir direto.

Já a derivada de e 3 x s e n 2 x é obtida da mesma forma que calculamos a derivada de e 3 x cos ⁡ 2 x , porém agora no lugar do cosseno, usamos o seno.

d e 3 x s e n 2 x d x = d 3 x d x · d e u d u · sen ⁡ 2 x + e 3 x · d 2 x d x · d sen ⁡ v d v

Já calculamos todas essas derivadas anteriormente, porém ainda não calculamos o s e n v .

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de s e n x é igual a cos ⁡ x , ou seja

d e 3 x s e n 2 x d x = 3 x 1 - 1 · e u · sen ⁡ 2 x + e 3 x · 2 x 1 - 1 · cos ⁡ v

Simplificando e fazendo as substituições.

d e 3 x s e n 2 x d x = 3 e 3 x sen ⁡ 2 x + 2 e 3 x cos ⁡ 2 x

Substituindo essa derivada em y ' ' e aplicando a derivada de e 3 x cos ⁡ 2 x que já calculamos anteriormente

y ' ' = 3 3 e 3 x cos ⁡ 2 x - 2 e 3 x s e n 2 x - 2 3 e 3 x sen ⁡ 2 x + 2 e 3 x cos ⁡ 2 x

y ' ' = 9 e 3 x cos ⁡ 2 x - 6 e 3 x s e n 2 x - 6 e 3 x sen ⁡ 2 x - 4 e 3 x cos ⁡ 2 x

Simplificando o resultado, temos

y ' ' = 5 e 3 x cos ⁡ 2 x - 12 e 3 x s e n 2 x

Agora acabamos de calcular y ' ' .

Entendeu essa parte? 😉

Passo 4

Aplicando y , y ' e y ' ' na EDO, considerando o sinal positivo de 6 y ' , temos

y ' ' + 6 y ' + 13 y = 0

5 e 3 x cos ⁡ 2 x - 12 e 3 x s e n 2 x + 6 3 e 3 x cos ⁡ 2 x - 2 e 3 x s e n 2 x + 13 e 3 x cos ⁡ 2 x = 0

Simplificando a equação

5 e 3 x cos ⁡ 2 x - 12 e 3 x s e n 2 x + 18 e 3 x cos ⁡ 2 x - 12 e 3 x s e n 2 x + 13 e 3 x cos ⁡ 2 x = 0

Juntando os termos semelhantes

36 e 3 x cos ⁡ 2 x - 24 e 3 x s e n 2 x = 0

Poxa, a igualdade não foi satisfeita, logo, a solução y não satisfaz a EDO.

Mas, e para o sinal negativo de 6 y ' , será que faz diferença?

Substituindo y , y ' e y ' ' na EDO considerando - 6 y '

y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0

5 e 3 x cos ⁡ 2 x - 12 e 3 x s e n 2 x - 6 3 e 3 x cos ⁡ 2 x - 2 e 3 x s e n 2 x + 13 e 3 x cos ⁡ 2 x = 0

Organizando a equação

5 e 3 x cos ⁡ 2 x - 12 e 3 x s e n 2 x - 18 e 3 x cos ⁡ 2 x + 12 e 3 x s e n 2 x + 13 e 3 x cos ⁡ 2 x = 0

Juntando os termos semelhantes

5 - 18 + 13 e 3 x cos ⁡ 2 x + - 12 + 12 e 3 x s e n 2 x = 0

0 e 3 x cos ⁡ 2 x + 0 e 3 x s e n 2 x = 0

Nesse caso, chegamos à conclusão que

0 = 0

A igualdade foi satisfeita, portanto para 6 y ' negativo na EDO, y é a solução da EDO!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Se a EDO for y ' ' + 6 y ' + 13 y = 0 , y não satisfaz a EDO.

Se a EDO for y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0 , y satisfaz a EDO.

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