Problema 3 - Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada

(a) x y ' - 2 y = 0 ; y = - x 2   s e   x < 0 x 2   s e   x ≥ 0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos uma EDO dada por x y ' - 2 y = 0 e uma possível solução y que é definida por partes onde

y = - x 2   s e   x < 0 x 2   s e   x ≥ 0

O que temos que fazer é verificar se essa solução satisfaz nossa EDO ou não.

Tem ideia de como fazemos isso?? 🤔🤔

Se y é definida por partes, as duas partes devem satisfazer a EDO, concorda?

Então vamos analisar a EDO e substituir cada parte de y e suas derivadas para verificar se a equação é satisfeita.

Entendeu? Bora lá! 😁

Passo 2

Nossa EDO é dada por x y ' - 2 y = 0 , ou seja, temos y e y ' portanto temos que derivar y apenas uma vez antes de fazer as substituições na EDO.

Derivando y , temos

y ' = d y d x

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de - x 2 é dada por

d - x 2 d x = - 2 · x 2 - 1 = - 2 x

Já a derivada de x 2 é dada por

d x 2 d x = 2 · x 2 - 1 = 2 x

Com isso, y ' é dado por

y ' = - 2 x   s e   x < 0 2 x   s e   x ≥ 0

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Para substituindo y para x < 0 na EDO, temos

x - 2 x - 2 - x 2 = 0

Simplificando a equação

- 2 x 2 + 2 x 2 = 0

0 = 0

A equação foi satisfeita para x < 0 , então, por enquanto, y está satisfazendo a EDO!

Agora para x ≥ 0 a equação é dada por

x 2 x - 2 x 2 = 0

Simplificando

2 x 2 - 2 x 2 = 0

0 = 0

A equação também foi satisfeita para x ≥ 0 , portanto y é solução da nossa EDO!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

É solução da EDO.

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