Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(t) d 2 y d x 2 - 4 d y d x + 4 y = 0 ;   y = e 2 x + x e 2 x .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, foi dada uma EDO e um valor que é dado como a solução para essa EDO.

No caso, a EDO que nos deram é a seguinte:

d 2 y d x 2 - 4 d y d x + 4 y = 0

E a suposta solução é y = e 2 x + x e 2 x .

Com essas informações temos que verificar se essa solução realmente satisfaz a EDO ou não.

Entendi, mas como vamos fazer isso?? 🤔

Que tal a gente substituir y e suas derivadas na EDO e ver se a equação é satisfeita? Essa é uma maneira bem direta de se verificar se a solução satisfaz a EDO.

Dessa forma, se a igualdade for satisfeita, é porque y é solução da EDO. Mas se caso a igualdade não for satisfeita, y não é solução da EDO.

Entendeu? Bora ver como é isso! 😁

Passo 2

Primeiro, temos que analisar a EDO. Vemos que temos uma derivada de segunda ordem de y e uma derivada de primeira ordem, ou seja, vamos derivar a solução dada por duas vezes e substituir na EDO.

Derivando y pela primeira vez, temos

d y d x = d e 2 x + x e 2 x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...

d y d x = d e 2 x d x + d x e 2 x d x

Para a derivada de e 2 x vamos aplicar a regra da cadeia, lembra? “a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora”. Substituindo 2 x por u

d e 2 x d x = d 2 x d x d e u d u

Sabemos que a derivada de e x é o próprio e x e a derivada de 2 x é obtida pelo método de derivação polinomial.

d e 2 x d x = 2 x 1 - 1 e u

Simplificando e substituindo u por 2 x de volta, temos

d e 2 x d x = 2 e 2 x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora, vamos obter a derivada de x e 2 x .

Neste caso, vamos aplicar a regra do produto.

d x e 2 x d x = d x d x · e 2 x + x · d e 2 x d x

Acabamos de calcular a derivada de e 2 x , então podemos simplesmente substituir o resultado.

Já a derivada de x é obtida pelo método de derivação polinomial.

d x e 2 x d x = x 1 - 1 · e 2 x + x · 2 e 2 x

d x e 2 x d x = e 2 x + 2 x e 2 x

Substituindo em d y d x , temos

d y d x = 2 e 2 x + e 2 x + 2 x e 2 x

d y d x = 3 e 2 x + 2 x e 2 x

Encontramos a primeira derivada, mas agora temos que obter a segunda derivando o resultado da primeira.

d 2 y d x 2 = d 3 e 2 x + 2 x e 2 x d x

Podemos reescrever essa derivada como

d 2 y d x 2 = 3 d e 2 x d x + 2 d x e 2 x d x

Espera!! Já não calculamos a derivada de e 2 x e de x e 2 x ? Então pra ganhar tempo, podemos simplesmente substituir os resultados

d 2 y d x 2 = 3 2 e 2 x + 2 e 2 x + 2 x e 2 x

d 2 y d x 2 = 6 e 2 x + 2 e 2 x + 4 x e 2 x

d 2 y d x 2 = 8 e 2 x + 4 x e 2 x

Interessante, não é? 😉

Passo 4

Por último, vamos substituir as derivadas na EDO e ver se a igualdade é satisfeita

d 2 y d x 2 - 4 d y d x + 4 y = 0

8 e 2 x + 4 x e 2 x - 4 3 e 2 x + 2 x e 2 x + 4 e 2 x + x e 2 x = 0

Simplificando a equação, chegamos em

8 e 2 x + 4 x e 2 x - 12 e 2 x - 8 x e 2 x + 4 e 2 x + 4 x e 2 x = 0

Colocando x e 2 x e e 2 x em evidência

8 - 12 + 4 e 2 x + 4 - 8 + 4 x e 2 x = 0

12 - 12 e 2 x + 8 - 8 x e 2 x = 0

0 = 0

Com isso, vimos que a igualdade foi satisfeita, portanto a solução y satisfaz a nossa EDO!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y satisfaz a EDO.

Exercícios de Livros Relacionados

Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas do aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P ( t ) , o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use o campo de direções I para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1