Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(l) y ' = 2 y ; y = x x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos que verificar se uma solução de nos deram satisfaz uma EDO dada por y ' = 2 y .

No caso, y (que é a possível solução) é dada por y = x x

Então! Como podemos obter essa verificação?? 🤔

A maneira mais direta de se obter se y dado é solução da EDO é substituir y e suas derivadas na EDO e verificar se a igualdade é satisfeita.

Primeiro de tudo, temos que analisar a EDO e verificar qual a maior ordem de derivação que temos que derivar y .

Analisando y ' = 2 y vemos que temos apenas uma derivada de primeira ordem, então temos que derivar y apenas uma vez.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos obter a derivada de y , ou seja

d y d x = d x x d x

Antes, vamos reescrever x como x 2 , logo

d y d x = d x x 2 d x

Pela regra do produto, nossa derivada será

d y d x = d x d x · x 2 + x · d x 2 d x

Perceba também que a derivada de x 2 é obtida pela regra da cadeia, já que temos uma função composta.

Lembra como aplica essa regra? (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, substituindo a função de dentro por uma variável na derivada de fora)

d y d x = d x d x · x 2 + x · d x 2 d x · d u d u

Pelo método de derivação polinomial, temos

d y d x = x 1 - 1 · x 2 + x · 2 x 2 - 1 · 1 2 u 1 2 - 1

d y d x = 1 · x 2 + x · 2 x · 1 2 u

Substituindo u por x 2 de volta e simplificando o resultado, temos

d y d x = x 2 + x 2 x 2

Lembrando das propriedades de frações com raízes, temos que a a = a . Lembra disso? Ou seja

x 2 x 2 = x 2

Portanto d y d x será

d y d x = x 2 + x 2

d y d x = 2 x 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora, o que temos que fazer é substituir a derivada y ' e y na EDO e ver se a igualdade é satisfeita.

2 x 2 = 2 x x

Como x está dentro de outro módulo, podemos fazer o seguinte

2 x 2 = 2 x x 2

Com isso, simplificamos a raiz com o expoente 2

2 x 2 = 2 x x

2 x 2 = 2 x 2

Perceba agora que x do lado direito está elevado ao quadrado. Existe numero negativo quando ele é elevado ao quadrado? Não né? Então esse módulo é inútil nessa parte.

2 x 2 = 2 x 2

Com isso, a equação foi satisfeita, logo a solução y dada é SIM solução da nossa EDO!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y é solução da EDO.

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