Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 8, Questão 5

Verifique se a função y = f x ,   x I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = e - x + x 3 ,     I = R ,     y i v + 4 y ' ' ' - 3 y ' = x

Passo 1

Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas

1. A função dada está bem definida no intervalo?

2. Se eu substituir a expressão da f no y da equação, a igualdade é satisfeita?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.

O termo x 3 pode ter qualquer valor, porque não há restrição (denominador sendo zero e essas coisas).

Muita calma nessa hora, você pode acabar indo muito rápido e dizer que e - x não tem problema. Mas, se liga numa coisa

e - x = 1 e x

Então temos que ver se não tem denominador dando zero! Por sorte a exponencial nunca dá 0, então não tem treta nenhum no denominador.

A nossa função está bem definida!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar f onde tem y e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se

f i v + 4 f ' ' ' - 3 f ' = x

Então não tem jeito pessoal, precisamos ir derivando a expressão de f :

f ' = e - x ' + x 3 ' = - e - x + 1 3

f ' ' = f ' ' = - e - x ' + 1 3 ' = e - x

f ' ' ' = f ' ' ' = e - x ' = - e - x

f i v = f ' ' ' ' = - e - x ' = e - x

Agora vamos ver o que temos no lado esquerdo da equação

f i v + 4 f ' ' ' - 3 f ' = e - x + - 4 e - x + 3 e - x - 1 = - 1

Agora tá vendo que esse resultado é diferente de x , que é o lado direito da igualdade? Então não satisfaz a igualdade e não é solução!

Resposta

Não é solução!

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