Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 8, Questão 4

Verifique se a função y = f x ,   x I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = C 1 e x + C 2 e - x ,               I = R ,     y ' ' = y

Passo 1

Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas

1. A função dada está bem definida no intervalo?

2. Se eu substituir a expressão da f no y da equação, a igualdade é satisfeita?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.

A função exponencial, e x , deixa eu assumir qualquer valor para x , então ela não é um problema.

Muita calma nessa hora, você pode acabar indo muito rápido e dizer que pela mesma razão, e - x não tem problema. Mas, se liga numa coisa

e - x = 1 e x

Então temos que ver se não tem denominador dando zero! Por sorte a exponencial nunca dá 0, então não tem treta nenhum no denominador.

A nossa função está bem definida!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar f onde tem y e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se

f ' ' = f

Vamos trabalhar a segunda derivada primeiro. Bora derivar a função f que ele deu pra gente

f ' = C 1 e x ' + C 2 e - x ' = C 1 e x - C 2 e - x

Agora, precisamos derivar a expressão acima novamente

f ' ' = f ' ' = C 1 e x - C 2 e - x ' = C 1 e x + C 2 e - x

Show, agora repara que essa expressão de f ' ' é a mesma expressão que f , então temos a igualdade que queríamos!

Resposta

É solução!

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