3 - Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não-linear.

a) t 2 d 2 y d t 2 + t d y d t + 2 y = s e n t

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que determinar a ordem e se a EDO t 2 d 2 y d t 2 + t d y d t + 2 y = s e n t é linear ou não linear.

Sabe como fazemos para obter essas informações? 🤔🤔

A ordem de uma EDO é dada pela derivada de maior ordem de y , ou seja, d y d t , d 2 y d t 2 , d 3 y d t 3 ...

Já para determinar a linearidade da EDO temos que analisar alguns pontos... primeiro: as derivadas de y e y não podem estar elevadas a nenhuma potência diferente de 1 , ou seja, y 2 ou d y d t 2 .

E segundo: nenhuma derivada de y deve ser multiplicada por y , como por exemplo em y d y d t .

E aí! Será que a EDO dada no enunciado é linear? 👀

Passo 2

A EDO que temos que analisar é

t 2 d 2 y d t 2 + t d y d t + 2 y = s e n t

Primeiro vamos qual é a ordem dessa equação.

Nela temos d 2 y d t 2 , d y d t e y . A maior ordem é dada por d 2 y d t 2 , que é a derivada de ordem 2 de y , logo, se a ordem da derivada é dada pela derivada de maior ordem, nossa EDO é de ordem 2 !

Tranquilo até aqui? 😁

Agora vamos analisar se a EDO é linear ou não-linear...

Se observarmos termo a termo, em t 2 d 2 y d t 2 não temos y multiplicando a derivada de y e a derivada de y não está sendo elevada a nenhum expoente diferente de 1 , então por enquanto essa EDO é linear.

Observando os termos t d y d t e 2 y também temos que y não multiplica a derivada de y e a derivada de y está elevado a um expoente 1 , ou seja, esses termos também são lineares.

Por fim, o termo s e n t é independente de y então ele não influência na linearidade da equação.

Como nenhum termo se mostrou não-linear, nossa EDO é de segunda ordem e linear!

É isso! espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Ordem 2 , linear.

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