Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(u) y ' ' = y ;   y = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos uma EDO e uma possível solução para essa EDO.

Dizemos que é uma possível solução pois quem vai confirmar essa informação sou eu e você. Ou seja, temos que verificar a veracidade dessa solução nessa EDO. 😎

Ok, mas tem ideia de como podemos fazer isso?? 🤔🤔

O que você acha de a gente substituir y e suas derivadas na EDO e verificar se a igualdade da equação é satisfeita?

Caso a igualdade seja satisfeita, a solução é verídica, mas se caso a igualdade não for satisfeita, a solução não é verídica para essa EDO. 😉

Entendeu? Bora ver como é na prática! 😎

Passo 2

Primeiro temos que analisar a EDO e ver o que vamos precisar pra fazer nossa substituição.

y ' ' = y

Vemos que precisamos de uma derivada de segunda ordem de y para substituir em y ' ' .

Em y , vamos usar duas funções que não costumamos usar sempre, no caso cosh ⁡ x e sinh ⁡ x

O seno-hiperbólico e o cosseno-hiperbólico possuem propriedades semelhantes à cosseno e seno.

Vamos derivar y pela primeira vez

y ' = d cosh ⁡ x + sinh ⁡ x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos

y ' = d cosh ⁡ x d x + d sinh ⁡ x d x

Aqui começamos a diferenciar as funções trigonométricas hiperbólicas.

Pelo teorema fundamental do cálculo a derivada de cosh ⁡ x é igual a sinh ⁡ x e a derivada de sinh ⁡ x é igual a cosh ⁡ x . Ou seja

d cosh ⁡ x d x = sinh ⁡ x

d sinh ⁡ x d x = cosh ⁡ x

Substituindo em y '

y ' = sinh ⁡ x + cosh ⁡ x

Entendeu até aqui? 👀

Passo 3

Agora para obter y ' ' vamos derivar y ' que acabamos de obter

y ' ' = d sinh ⁡ x + cosh ⁡ x d x

Desmembrando as derivadas

y ' ' = d sinh ⁡ x d x + d cosh ⁡ x d x

Como acabamos de ver as derivadas de sinh ⁡ x e cosh ⁡ x são

d cosh ⁡ x d x = sinh ⁡ x

d sinh ⁡ x d x = cosh ⁡ x

Substituindo em y ' '

y ' ' = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x

Agora sim conseguimos tudo que precisamos para fazer as substituições na EDO.

y ' ' = y

cosh ⁡ x + sinh ⁡ x = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x

Podemos ver que realmente a igualdade foi satisfeita, logo y é SIM solução da nossa EDO!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y é solução da EDO.

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