Problema 5 - Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para

y = x y ' + 1 + y ' 2

é y = c x + 1 + c 2 . Mostre que a relação x 2 + y 2 = 1 define uma solução singular para a equação no intervalo - 1,1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Para essa questão, temos uma EDO dada por y = x y ' + 1 + y ' 2 em que sua solução geral é y = c x + 1 + c 2 .

Mas também temos que mostrar que a relação da circunferência x 2 + y 2 = 1 define uma solução singular para a EDO no intervalo - 1,1 .

Como podemos fazer isso?? 🤔

A ideia é substituir y e suas derivadas na EDO para verificar se a igualdade da equação é satisfeita.

Bora ver como é na prática? 😁

Passo 2

Analisando a EDO y = x y ' + 1 + y ' 2 vemos que para verificar uma solução, temos que obter y e y ' .

Ou seja, derivando y , vamos obter

y ' = d c x + 1 + c 2 d x

1 + c 2 resulta em uma constante, então sabemos que sua derivada é 0 , então derivando y pelo método de derivação polinomial, temos

y ' = c x 1 - 1 + 0 1 + c 2

y ' = c

Substituindo y e y ' da solução geral na EDO

c x + 1 + c 2 = x c + 1 + c 2

c x + 1 + c 2 = c x + 1 + c 2

Assim, vemos que y = c x + 1 + c 2 é a solução geral da EDO.

Tudo certo? 😉

Passo 3

Mas também a questão nos disse que x 2 + y 2 = 1 é valido dentro do intervalo - 1,1 .

Isolando y , vamos obter

y = 1 - x 2

Ou seja, essa é uma solução singular da EDO.

Vamos fazer os mesmos procedimentos para obter a verificação.

Derivando y para obter y ' , temos

y ' = d 1 - x 2 d x

Pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora). Substituindo 1 - x 2 por u na derivada de fora.

y ' = d 1 - x 2 d x · d u d u

y ' = d 1 - x 2 d x · d u 1 2 d u

Pelo método de derivação polinomial, vamos obter

y ' = 0 - 2 · x 2 - 1 1 2 · u 1 2 - 1

y ' = - 2 x 1 2 u 1 2

Simplificando o resultado e substituindo u por 1 - x 2 de volta, vamos obter

y ' = - x 1 - x 2

Entendeu essa parte? 👀

Passo 4

Por fim, substituímos y e y ' da solução singular e verificamos se a equação é satisfeita.

y = x y ' + 1 + y ' 2

1 - x 2 = x - x 1 - x 2 + 1 + - x 1 - x 2 2

Como a b 2 é igual a a 2 b 2 , então

1 - x 2 = x - x 1 - x 2 + 1 + x 2 1 - x 2 2

1 - x 2 = x - x 1 - x 2 + 1 + x 2 1 - x 2

Deixando a raiz com o mesmo denominador

1 - x 2 = x - x 1 - x 2 + 1 1 - x 2 1 - x 2 + x 2 1 - x 2

1 - x 2 = x - x 1 - x 2 + x 2 + 1 - x 2 1 - x 2

Simplificando e calculando o produto de x

1 - x 2 = - x 2 1 - x 2 + 1 1 - x 2

Como a b é igual a a b , então

1 - x 2 = - x 2 1 - x 2 + 1 1 - x 2

Juntando as duas frações

1 - x 2 = 1 - x 2 1 - x 2

Agora aplicamos uma regra que diz que a a é igual a a , ou seja, se fizermos a = 1 - x 2

1 - x 2 = 1 - x 2

Com isso mostramos que a relação x 2 + y 2 = 1 no intervalo de - 1,1 é valida para a EDO como solução singular!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x 2 + y 2 = 1 é valida

Exercícios de Livros Relacionados

Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas do aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P ( t ) , o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use o campo de direções I para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1