Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(c) d y d x - 2 y = e 3 x ;   y = e 3 x + 10 e 2 x .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa querida questão, foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO.

O que temos que fazer é verificar se a solução que nos deram satisfaz a EDO.

Tem ideia de como fazemos isso?? 🤔🤔

A EDO que nos deram é d y d x - 2 y = e 3 x e a suposta solução para essa EDO é y = e 3 x + 10 e 2 x .

Uma maneira mais direta de se obter a resposta que procuramos, é derivar y de modo que possamos substituir o resultado na EDO e verificar se a igualdade é satisfeita!

Outra maneira é obter a solução da EDO por meio de algum método e verificar se é possível escrever a solução de forma que seja igual a y .

Parece difícil? Bora ver como é na pratica! 😁

Passo 2

Nossa EDO é dada por d y d x - 2 y = e 3 x , ou seja, temos uma EDO linear de ordem 1.

Como nossa EDO é de ordem 1, a maior ordem de derivada é a primeira, ou seja, vamos precisar derivar y apenas uma vez.

Derivando y = e 3 x + 10 e 2 x , temos

d y d x = d e 3 x + 10 e 2 x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos

*   d y d x = d e 3 x d x + d 10 e 2 x d x

Ambas as derivadas serão obtidas pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora).

Derivando e 3 x , temos

d e 3 x d x = d 3 x d x · d e u d u

Sabemos que a derivada de e x é igual a e x , logo

d e 3 x d x = 3 · e u

Substituindo u por 3 x , temos

d e 3 x d x = 3 e 3 x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora para a derivada de 10 e 2 x , temos

d 10 e 2 x d x = 10 d 2 x d x · d e u d u

Calculando as derivadas chegamos em

d 10 e 2 x d x = 10 2 · e u

Substituindo u por 2 x e simplificando a resposta, temos

d 10 e 2 x d x = 20 e 2 x

Substituindo os resultados em *

d y d x = 3 e 3 x + 20 e 2 x

Substituindo na EDO, vamos verificar se essa solução satisfaz nossa EDO

3 e 3 x + 20 e 2 x - 2 e 3 x + 10 e 2 x = e 3 x

3 e 3 x + 20 e 2 x - 2 e 3 x - 20 e 2 x = e 3 x

Simplificando a equação, temos

3 e 3 x + 20 e 2 x - 2 e 3 x - 20 e 2 x = e 3 x

e 3 x = e 3 x

Com isso, vemos que SIM! A solução y = e 3 x + 10 e 2 x satisfaz a EDO!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A solução y = e 3 x + 10 e 2 x satisfaz a EDO

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