Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada equação linear é ou não homogênea.

( d )   u ∂ 2 x u + ∂ 2 y u - u = 0 ;

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O enunciado pede para classificarmos as equações diferenciais parciais apresentadas nas alternativas. Neste caso temos a seguinte equação diferencial

u ∂ 2 x u + ∂ 2 y u - u = 0

elas podem ser classificadas pela sua ordem, determinada pelo maior grau da derivada, ou seja, se a maior derivada é da forma ∂ n temos uma equação de grau n . A linearidade da equação diferencial pode ser analisada tendo em vista o seguinte formato

A ( x , y ) u x x + B ( x , y ) u x y + C ( x , y ) u y y + G ( x , y , u , u x , u y ) = 0

esse é o exemplo de uma equação diferencial parcial de segunda ordem quasi-linear, note que não há funções das derivadas segundas da função u ( x , y ) . Ela será linear se não houverem sequer funções compostas com a função u ( x , y ) , por exemplo

A ( x , y ) u x x + B ( x , y ) u x y + C ( x , y ) u y y + D ( x , y ) u x + E ( x , y ) u y + F ( x , y ) u + G ( x , y ) = 0

e por último, temos que a homogeneidade da equação diferencial é determinada observando se G ( x , y ) = 0 (equação homogênea) ou G ( x , y ) ≠ 0 (equação não-homogênea). Uff… Com tudo isso relembrado, acho que conseguimos classificar a nossa equação! Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte equação diferencial

u ∂ 2 x u + ∂ 2 y u - u = 0

a maior derivada é de grau 2 portanto a equação é de segunda ordem, nós não temos nenhuma uma função de u ( x , y ) ou suas derivadas, no entanto, um dos coeficientes é função de u ( x , y ) portanto, a equação diferencial é não-linear. E, note também que não há uma função que não acompanhe u ( x , y ) ou suas derivadas, portanto, a equação é homogênea! Maravilha! A primeira alternativa foi isso! Até a próxima!

Resposta

Equação de segunda ordem, não-linear e homogênea.

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