Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(y) y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0 ;   y = x 2 e x .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, temos que verificar se a função y dada é solução da EDO y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0 .

No caso, y é dado como y = x 2 e x

O que você acha? y é ou não é solução? 🤔

Pra responder essa pergunta, podemos aplicar y da equação e verificar se a igualdade é satisfeita.

Analisando a EDO, vemos que é uma EDO de terceira ordem, ou seja, a maior derivada de y é a derivada de terceira ordem, ou seja, antes de começar as substituições de y na equação, vamos calcular as derivadas de y .

Entendeu? Bora lá! 😁

Passo 2

Derivando y pela primeira vez, temos

y ' = d x 2 e x d x

Perceba que vamos derivar pela regra do produto, já que temos a multiplicação de duas funções

y ' = d x 2 d x · e x + x 2 · d e x d x

Pelo método de derivação polinomial, vamos derivas x 2 , já a derivada de e x é o próprio e x pelo teorema fundamental do cálculo y ' = 2 x 2 - 1 · e x + x 2 · e x

Simplificando e organizando o resultado, temos que

y ' = 2 x e x + x 2 e x

y ' = 2 x + x 2 e x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora derivamos o resultado de y ' para obter y ' '

y ' ' = d 2 x + x 2 e x d x

Novamente pela regra do produto, temos

y ' ' = d 2 x + x 2 d x · e x + 2 x + x 2 · d e x d x

Já sabemos qual é a derivada de e x , mas a derivada de 2 x + x 2 é obtida pelo método de derivação polinomial

y ' ' = 2 x 1 - 1 + 2 x 2 - 1 · e x + 2 x + x 2 · e x

Simplificando e organizando o resultado

y ' ' = 2 + 2 x e x + 2 x + x 2 e x

y ' ' = 2 + 4 x + x 2 e x

Por último derivamos y ' ' para obter y ' ' '

y ' ' ' = d 2 + 4 x + x 2 e x d x

Pela regra do produto, vemos que

y ' ' ' = d 2 + 4 x + x 2 d x · e x + 2 + 4 x + x 2 · d e x d x

Calculamos a derivada de 2 + 4 x + x 2 pelo método de derivação polinomial, onde temos

y ' ' ' = 2 0 + 4 x 1 - 1 + 2 x 2 - 1 · e x + 2 + 4 x + x 2 · e x

Organizando o resultado

y ' ' ' = 4 + 2 x e x + 2 + 4 x + x 2 e x

y ' ' ' = 6 + 6 x + x 2 e x

Agora sim já obtemos todas as derivadas de y que precisamos.

Bora substituir e ver no que vai dar. 😉

Passo 4

Substituindo y , y ' , y ' ' e y ' ' ' na EDO, vamos obter

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0

6 + 6 x + x 2 e x - 3 2 + 4 x + x 2 e x + 3 2 x + x 2 e x - x 2 e x = 0

Calculando as distributivas de 3 em y ' ' e y '

6 + 6 x + x 2 e x - 6 + 12 x + 3 x 2 e x + 6 x + 3 x 2 e x - x 2 e x = 0

Colocando e x em evidência

6 + 6 x + x 2 - 6 - 12 x - 3 x 2 + 6 x + 3 x 2 - x 2 e x = 0

Como e x nunca é 0 , o polinômio entre parênteses deve ser 0

6 + 6 x + x 2 - 6 - 12 x - 3 x 2 + 6 x + 3 x 2 - x 2 = 0

Perceba que os termos x 2 , x e os termos independentes se cancelam, portanto

0 e x = 0

0 = 0

A igualdade foi satisfeita, logo y é SIM solução da nossa EDO!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

É solução.

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