Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(p) y ' + 2 x y = 1 ;   y = e - x 2 ∫ 0 x e t 2 d t + c 1 e - x 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Temos uma questãozinha de introdução a EDO’s em que foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO.

Nosso objetivo é comprovar que essa solução é a solução da EDO ou que a solução não satisfaz a EDO.

Ok, mas como fazemos essa verificação?? 🤔

Temos uma maneira bem direta de se obter esse resultado, no caso vamos substituir y e suas derivadas na EDO.

Dessa forma, verificamos se a igualdade é satisfeita. Se for a solução é solução da EDO, se não for, a solução não é solução da EDO.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Analisando nossa EDO temos dada por

y ' + 2 x y = 1

Vemos que se trata de uma EDO linear de primeira ordem, ou seja, por ser de primeira ordem, a maior derivada que temos é a derivada de ordem 1 , logo vamos derivar a solução y apenas uma vez.

Mas antes, vamos dar uma olhada na solução que nos deram.

y = e - x 2 ∫ 0 x e t 2 d t + c 1 e - x 2

Podemos perceber que temos uma integral que não sabemos calcular, portanto, vamos fazer o seguinte: vamos chamar essa integral de F t

∫ e t 2 d t = F t

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 x e t 2 d t = F x - F 0

Até aqui só aplicamos o teorema fundamental do cálculo.

Então, vamos fazer essa substituição em y '

Veja só

y ' = d y d x = d e - x 2 F x - F 0 + c 1 e - x 2 d x

y ' = d y d x = d e - x 2 F x - e - x 2 F 0 + c 1 e - x 2 d x

Sabemos que a derivada da soma é a soma das derivadas, logo

y ' = d e - x 2 F x d x - d e - x 2 F 0 d x + d c 1 e - x 2 d x

Primeiro vamos obter a derivada de e - x 2 F x aplicando um misto entre regra da cadeia e regra do produto.

d e - x 2 F x d x = d e - x 2 d x · F x + e - x 2 · d F x d x

No caso, a regra da cadeia entra na derivada de e - x 2 . Substituindo - x 2 por u , temos

d e - x 2 F x d x = d - x 2 d x · d e u d u · F x + e - x 2 · d F x d x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Sabemos que a derivada de e x é igual a ele mesmo e a derivada de - x 2 é obtida pelo método de derivação polinomial.

d e - x 2 F x d x = - 2 x 2 - 1 · e u · F x + e - x 2 · F ' x

Organizando o resultado substituindo u por - x 2 , temos

d e - x 2 F x d x = - 2 x e - x 2 F x + e - x 2 F ' x

E oque é F ' x ? F t é a integral de e t 2 , a derivada é a operação inversa da integral, logo a derivada de F t é a função e t 2 . Ou seja, como fizemos a substituição por x no lugar de t , temos

d e - x 2 F x d x = - 2 x e - x 2 F x + e - x 2 e x 2

d e - x 2 F x d x = - 2 x e - x 2 F x + e - x 2 + x 2

Por fim, a derivada de e - x 2 F x é

d e - x 2 F x d x = - 2 x e - x 2 F x + 1

Agora vamos calcular a derivada de e - x 2 F 0 .

Você concorda que F 0 é uma constante? Então para obter essa derivada, vamos aplicar apenas a regra da cadeia em e - x 2 .

Já fizemos esse calculo na derivada anterior, lembra?

d e - x 2 F 0 d x = F 0 d e - x 2 d x

d e - x 2 F 0 d x = F 0 d - x 2 d x · d e u d u

Pelo método de derivação polinomial e como a derivada de e u = e u

d e - x 2 F 0 d x = F 0 - 2 x 2 - 1 · e u

Substituindo u por - x 2 e organizando o resultado, temos

d e - x 2 F 0 d x = - 2 x F 0 e - x 2

Interessante, não é? 😉

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada de c 1 e - x 2 .

Esse caso vai ser muito parecido com a derivada anterior, temos uma constante multiplicando e - x 2 .

Como acabamos de fazer essas contatas, podemos substituir direto

d c 1 e - x 2 d x = c 1 d - x 2 d x · d e u d u

d c 1 e - x 2 d x = - 2 x c 1 e - x 2

Substituindo todos esses resultados em y ' , temos

y ' = - 2 x e - x 2 F x + 1 - - 2 x F 0 e - x 2 + - 2 x c 1 e - x 2

y ' = - 2 x F x e - x 2 + 1 + 2 x F 0 e - x 2 - 2 x c 1 e - x 2

Substituindo y ' e y na EDO, vemos que

y ' + 2 x y = 1

- 2 x F x e - x 2 + 1 + 2 x F 0 e - x 2 - 2 x c 1 e - x 2 + 2 x e - x 2 ∫ 0 x e t 2 d t + c 1 e - x 2 = 1

Como vimos que ∫ 0 x e t 2 d t = F x - F 0 , logo

- 2 x F x e - x 2 + 1 + 2 x F 0 e - x 2 - 2 x c 1 e - x 2 + 2 x e - x 2 F x - F 0 + c 1 e - x 2 = 1

Organizando essa equação, temos

- 2 x F x e - x 2 + 1 + 2 x F 0 e - x 2 - 2 x c 1 e - x 2 + 2 x F x e - x 2 - 2 x F 0 e - x 2 + 2 x c 1 e - x 2 = 1

Perceba que 2 x F x e - x 2 , 2 x F 0 e - x 2 e 2 x c 1 e - x 2 aparecem somando e subtraindo no lado esquerdo da equação, então podemos corta-los

- 2 x F x e - x 2 + 1 + 2 x F 0 e - x 2 - 2 x c 1 e - x 2 + 2 x F x e - x 2 - 2 x F 0 e - x 2 + 2 x c 1 e - x 2 = 1

1 = 1

Com isso, vimos que a igualdade foi satisfeita, logo y é SIM solução da EDO!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

É solução da EDO.

Exercícios de Livros Relacionados

Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas do aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P ( t ) , o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como
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Use o campo de direções I para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1