Problema 3 - Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada.

(b) y ' 2 = 9 x y ; y = 0   s e   x < 0 x 3   s e   x ≥ 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, temos uma EDO dada por y ' 2 = 9 x y e uma possível solução y que é definida por partes. No caso, quando x < 0 , y assume um valor e quando x ≥ 0 , y assume outro valor. Veja só

y = 0   s e   x < 0 x 3   s e   x ≥ 0

Dizemos que y é uma possível solução pois nossa tarefa é verificar se essa é mesmo a solução da EDO.

Como podemos fazer isso?? 👀

Podemos substituir y e suas derivadas na EDO e verificar se a igualdade da equação é satisfeita, o que acha? 🤔

Bora começar!

Passo 2

Analisando a EDO vemos que a equação possui y ' e y , ou seja, antes de aplicar as substituições na EDO, temos que derivar y para obter y ' .

Se y é dado por

y = 0   s e   x < 0 x 3   s e   x ≥ 0

Então a derivada de y é dada por

y ' = d 0 d x   s e   x < 0 d x 3 d x   s e   x ≥ 0

A derivada de uma constante é 0 , então

d 0 d x = 0

Já a derivada de x 3 é obtida pelo método de derivação polinomial, ou seja

d x 3 d x = 3 · x 3 - 1 = 3 x 2

Substituindo os resultados em y ' , temos

y ' = 0   s e   x < 0 3 x 2   s e   x ≥ 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora se a solução y satisfaz a EDO, a igualdade deve ser satisfeita para x < 0 e para x ≥ 0 .

Para x < 0 , y e y ' são iguais a 0 , substituindo na EDO, temos

0 2 = 9 x 0

0 = 0

Vamos que para x < 0 a igualdade é satisfeita!

Agora vamos ver para x ≥ 0 onde y = x 3 e y ' = 3 x 2

3 x 2 2 = 9 x x 3

3 2 x 2 · 2 = 9 x 1 + 3

Simplificando o resultado, temos

9 x 4 = 9 x 4

Vemos que a igualdade foi satisfeita, então para x ≥ 0 a solução satisfaz a EDO também.

Portanto, y é solução da EDO! 😁

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

É solução.

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