Responda falso ou verdadeira justificando a sua resposta, ou seja, prove se for verdadeiro ou dê um contra exemplo se for falso:

( b ) Se y 1 ( t ) é uma solução particular de uma EDO linear de primeira ordem então a função y 2 ( t ) = 2 y 1 ( t ) também é solução.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Esta questão pede para que analisemos duas afirmativas, verificando se elas são verdadeiras ou falsas, provando a veracidade ou dando um contra-exemplo caso seja falsa. Nesta afirmativa em particular, temos a afirmação

“Se y 1 ( t ) é uma solução particular de uma EDO linear de primeira ordem então a função y 2 ( t ) = 2 y 1 ( t ) também é solução.”

Como podemos verificar a veracidade desta afirmação? Primeiro, o que garante que uma dada função y ( t ) é solução de uma equação de primeira ordem? Ela deve resolver a equação

y ˙ ( t ) = f ( x , t )

em que a função f ( x , t ) por enquanto é arbitrária, mas, para que a equação seja linear, é necessário que a função tenha o seguinte formato

y ˙ ( t ) + p ( t ) y ( t ) = q ( t )

Vamos ver se a afirmação faz sentido tendo em vista estas definições! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, temos que y 1 ( t ) é solução, portanto, temos que

y 1 ˙ ( t ) + p ( t ) y 1 ( t ) = q ( t )

é uma equação verdadeira! Agora, será que y 2 ( t ) = 2 y 1 ( t ) também é solução? Vamos substituir esta solução em uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear, ou seja, escrever

y 2 ˙ ( t ) + p ( t ) y 2 ( t ) = q ( t )

note que esta equação é a mesma que é solução para y 1 ( 2 ) , já que não mudamos as funções p ( t ) e q ( t ) . Usando nesta equação que y 2 ( t ) = 2 y 1 ( t ) , obtemos

2 y 1 ˙ ( t ) + 2 p ( t ) y 1 ( t ) = q ( t )

Se dividirmos tudo por 2 , temos que

y 1 ˙ ( t ) + p ( t ) y 1 ( t ) = 1 2 q ( t )

Como temos que y 1 ( t ) é solução da equação diferencial, portanto, o lado esquerdo é identicamente igual a q ( t ) , e o lado direito é igual a 1 2 q ( t ) . Ou seja, temos que

q ( t ) = 1 2 q ( t )

O que é um absurdo! Sendo assim, se y 1 ( t ) é solução, não necessariamente y 2 ( t ) = 2 y 1 ( t ) será solução, a afirmação é verdadeira apenas quando q ( t ) = 0 . A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Falsa

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