Problema 6 - Encontre valores de m para que y = e m x seja uma solução para cada equação diferencial.

(b) y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Para essa questão, temos uma EDO dada por y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0 e também temos uma solução dada por y = e m x onde m é uma constante, porém temos que obter os valores de m que fazem y ser solução da EDO.

Entendeu o que temos que fazer?? 🤔

No caso, vamos substituir y e suas derivadas na equação e obter os valores de m que fazem a igualdade ser satisfeita.

Bora ver como é isso! 😁

Passo 2

Analisando a EDO dada por y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0 , percebemos que temos que obter y ' e y ' ' antes de iniciar as substituições.

Se derivarmos y , vamos obter

y ' = d e m x d x

Pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora) e substituindo m x por u na derivada de fora, temos

y ' = d m x d x · d e u d u

A derivada de m x é obtida pelo método de derivação polinomial, já a derivada de e u é a própria e u pelo teorema fundamental do cálculo, ou seja

y ' = m x 1 - 1 · e u

y ' = m e u

Substituindo u por m x de volta

y ' = m e m x

Com isso obtemos a primeira derivada de y .

Entendeu essa parte? 👀

Passo 3

Agora para obter a segunda derivada de y , vamos derivar y '

y ' ' = d m e m x d x

Reescrevendo a derivada como

y ' ' = m d e m x d x

Percebemos que podemos obter essa derivada olhando para o passo anterior onde calculamos a derivada de e m x .

Substituindo o resultado, vamos obter

y ' ' = m m e m x

y ' ' = m 2 e m x

E assim, obtemos a segunda e a última derivada antes de começarmos a substituir na EDO.

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 4

Por fim, substituímos y , y ' e y ' ' na EDO

y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0

m 2 e m x + 10 m e m x + 25 e m x = 0

Colocando e m x em evidência, temos

m 2 + 10 m + 25 e m x = 0

Podemos simplificar a equação dividindo os dois lados por e m x

m 2 + 10 m + 25 e m x e m x = 0 e m x

m 2 + 10 m + 25 = 0

Assim vamos obter m aplicando Bhaskara

m = - 10 ± 10 2 - 4 · 1 · 25 2 · 1

m = - 10 ± 100 - 100 2

Dessa forma, m deve ser

m = - 10 2

m = - 5

Logo a solução y deve ser

y = e - 5 x

Ou seja, para y ser solução da EDO, m deve ser igual a - 5 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

m = - 5

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