Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(f) d y d x = y x ;   y = x + c 1 2 ,   x > 0 ,   c 1 > 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO. O que temos que fazer é verificar se a solução dada é realmente solução da EDO.

Como vamos fazer isso?? 🤔

a EDO que nos deram é dada por

d y d x = y x

E sua possível solução é y = x + c 1 2 , onde foi dito que x > 0 e que c 1 > 0 .

A maneira mais direta de obter esse resultado é obter as derivadas necessárias pra substituir na EDO e verificar se a equação é satisfeita.

A ideia é simples, mas acha que a execução também vai ser?

Vamos ver! 😁

Passo 2

Analisando a EDO, vemos que temos uma EDO linear de primeira ordem.

Com isso, precisamos derivar a suposta solução apenas uma vez.

Antes, vamos reescrever y como

  y = x + c 1 x + c 1

y = x + 2 c 1 x + c 1 2

Derivando y , temos

d y d x = d x + 2 c 1 x + c 1 2 d x

Como a derivada da soma é a soma das derivadas, temos que

d y d x = d x d x + d 2 c 1 x d x + d c 1 2 d x

Para a derivada de x , aplicamos o método de derivação polinomial

d x d x = x 1 - 1 = 1

Da mesma forma para a derivada de x

d 2 c 1 x d x = 2 c 1 1 2 x 1 2 - 1 = c 1 x

E por fim, a derivada de c 1 , que é uma constante é 0 .

d c 1 2 d x = 0

Juntando tudo, temos

d y d x = 1 + c 1 x

Foi tranquilo? 👀

Passo 3

Agora substituímos d y d x na EDO

1 + c 1 x = x + c 1 2 x

Pelas propriedades da raiz, a b = a b , logo

1 + c 1 x = x + c 1 2 x

Como a raiz de um numero ao quadrado é o próprio número, então

1 + c 1 x = x + c 1 x

Organizando um pouquinho o lado direito

1 + c 1 x = x x + c 1 x

Logo, temos que se simplificarmos x

1 + c 1 x = 1 + c 1 x

Ou seja, a igualdade foi satisfeita, logo a solução dada no enunciado se mostrou verídica!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y = x + c 1 2 é solução da EDO.

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