Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.

d )   x 2 d y + y - x y - x e x d x = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão fala sobre ordem e linearidade de uma equação diferencial, então antes de qualquer coisa vamos relembrar o que são esses conceitos?

  • Ordem: a ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada de maior ordem. Por exemplo
  • d 4 y d x 4 + x y = 0 → 4 ª   o r d e m

    y ' ' ' + x y ' = x 2 → 3 ª   o r d e m

    y ' 2 + 2 y = x → 1 ª   o r d e m

  • Linearidade: vamos começar com alguns exemplos:
  • 2 x 2 d 5 y d x 5 + x 3 d 3 y d x 3 + y = 0

    4 d 3 y d x 3 + x 3 y = x 3

    x 3 d 6 y d x 6 + x d 2 y d x 2 = - 2

    Vejamos algumas similaridades:

    • Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não estão elevados ao quadrado, ao cubo ou qualquer outro expoente...
    • y e o próprio y dependem apenas de x

    Então podemos generalizar da seguinte forma:

    Para que uma equação diferencial seja linear ela precisa satisfazer esses dois itens:

  1. Uma edo é linear se a variável dependente ( y   n o   n o s s o   c a s o ) e as suas derivadas que aparecem na equação estão elevadas ao expoente 1
  2. Os coeficientes que multiplicam a variável dependente ( y   n o   c a s o ) e multiplicam as suas derivadas dependem apenas da variável independente ( x   n e s s e   c a s o )

Satisfazendo essas duas condições dizemos que a equação é: LINEAR

E quando falhar em alguma (ou as duas) delas? Chamamos de: NÃO-LINEAR

Sabendo disso, agora nossa missão é classificar a equação diferencial dada!

Bora lá!

Passo 2

Nossa equação diferencial é essa aqui

x 2 d y + y - x y - x e x d x = 0

Assumindo que d x ≠ 0 , podemos dividir tudo por d x :

x 2 d y d x + y - x y - x e x = 0

Agora sim vamos analisar quanto a ordem e à linearidade:

  • Quanto à ordem: vemos que a maior derivada é a primeira, então temos uma equação de 1 ª   o r d e m
  • Agora vamos ver os quesitos de linearidade:
  • 1º) Vemos que a derivada primeira de y e a própria variável y estão elevadas ao expoente 1 ! Então esse primeiro item foi satisfeito!

    2º) Os coeficientes de y ' e y são todos ou funções de x ou constantes, então esse item tbm foi satisfeito!

    Então nossa equação é

    1 ª   o r d e m L i n e a r

    E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

    Resposta

    1 ª   o r d e m L i n e a r

    Exercícios de Livros Relacionados

    Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas do aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P ( t ) , o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como
    Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
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    Use o campo de direções I para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
    Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1