Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(r) y ' ' + y ' - 12 y = 0 ;   y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Chegamos em uma questão que foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO.

Com isso, temos que verificar se essa solução realmente é a solução para nossa EDO ou não.

Certo, mas como vamos fazer isso?? 🤔

Podemos usar uma abordagem mais direta substituindo y e suas derivadas na EDO e verificando se a igualdade da equação é satisfeita.

Caso a igualdade for satisfeita, a solução é realmente solução da EDO, caso o contrário a solução não será da nossa EDO.

Entendeu?

Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Primeiro a gente analisa a EDO pra identificar o que vamos precisar obter para fazer as substituições.

Nossa EDO é dada por

y ' ' + y ' - 12 y = 0

Vemos que se trata de uma EDO de segunda ordem, logo a maior derivada de y que temos que obter é a de segunda ordem também.

Ou seja, vamos derivar y duas vezes.

A solução y é dada por

y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x

Calculando a primeira derivada de y , temos

y ' = d c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas

y ' = d c 1 e 3 x d x + d c 2 e - 4 x d x

Pela rega da cadeia, podemos obter essas derivadas. “a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora” lembra?

Fazendo 3 x = u e - 4 x = v

y ' = c 1 d 3 x d x · d e u d u + c 2 d - 4 x d x · d e v d v

Pelo teorema fundamental do cálculo a derivada de e x é igual a e x .

As derivadas de 3 x e - 4 x são obtidas pelo método de derivação polinomial

y ' = c 1 3 x 1 - 1 · e u + c 2 - 4 x 1 - 1 · e v

y ' = c 1 3 e u - c 2 4 e v

Substituindo u e v de volta

y ' = c 1 3 e 3 x - c 2 4 e - 4 x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora derivamos este resultado para obter a derivada segunda

y ' ' = d c 1 3 e 3 x - c 2 4 e - 4 x d x

Separando a derivada pela soma

y ' ' = d c 1 3 e 3 x d x - d c 2 4 e - 4 x d x

Novamente pela regra da cadeia, temos

y ' ' = c 1 3 d 3 x d x · d e u d u - c 2 4 d - 4 x d x · d e v d v

Acabamos de calcular essas derivadas, então podemos substituir direto

y ' ' = c 1 3 3 · e u - c 2 4 - 4 · e v

Simplificando e substituindo u e v novamente

y ' ' = c 1 9 e 3 x + c 2 16 e - 4 x

Interessante, não é? 😉

Passo 4

Substituindo y , y ' e y ' ' na EDO, temos

y ' ' + y ' - 12 y = 0

c 1 9 e 3 x + c 2 16 e - 4 x + c 1 3 e 3 x - c 2 4 e - 4 x - 12 c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x = 0

Organizando essa equação, temos

c 1 9 e 3 x + c 1 3 e 3 x - c 1 12 e 3 x + c 2 16 e - 4 x - c 2 4 e - 4 x - c 2 12 e - 4 x = 0

Perceba que os termos c 1 e 3 x se cancelam, assim como os termos c 2 e - 4 x

9 + 3 - 12 c 1 e 3 x + 16 - 4 - 12 c 2 e - 4 x = 0

0 c 1 e 3 x + 0 c 2 e - 4 x = 0

0 = 0

A igualdade foi satisfeita, logo y é SIM solução da nossa EDO!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

É solução da EDO.

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Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1