Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(x) x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0 ;   y = x c o s ln ⁡ x ,   x > 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

No enunciado da questão, foi dado uma EDO e um valor para y .

O que temos que fazer é verificar se y é solução da EDO ou não.

Entendi, mas como fazemos isso?

Veja só! Se y é a solução, ele deve satisfazer a equação, não é?

Ou seja, se substituirmos y e suas derivadas na EDO e a igualdade da equação for satisfeita, significa que y é solução da EDO, mas se a igualdade não for satisfeita, é porque y não é solução da EDO.

A ideia é essa! Bora começar? 😁😁

Passo 2

Vamos dar uma olhada na EDO que nos deram

x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0

Podemos ver que precisamos calcular y ' ' e y ' para fazer a substituição, ou seja, obter a primeira e a segunda derivada de y .

Derivando y pela primeira vez, temos

y ' = d x c o s ln ⁡ x d x

Essa derivada é obtida por um misto entre a regra da cadeia e a regra do produto. Veja só, aplicando a regra do produto em x ·   c o s ln ⁡ x

y ' = d x d x · c o s ln ⁡ x + x · d c o s ln ⁡ x d x

Já para a derivada de c o s ln ⁡ x temos que aplicar a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora).

d c o s ln ⁡ x d x = d ln ⁡ x d x · d c o s u d u

Substituindo em y '

y ' = d x d x · c o s ln ⁡ x + x · d ln ⁡ x d x · d c o s u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de ln ⁡ x é igual a 1 x e a derivada de cos ⁡ x é igual a - s e n x . Já a derivada de x é obtida pelo método de derivação polinomial

y ' = x 1 - 1 · c o s ln ⁡ x + x · 1 x · - s e n u

Simplificando o resultado e substituindo u por ln ⁡ x de volta

y ' = c o s ln ⁡ x - s e n ln ⁡ x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora temos que derivar o resultado que encontramos para obter a segunda derivada de y

y ' ' = d c o s ln ⁡ x - s e n ln ⁡ x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos

y ' ' = d c o s ln ⁡ x d x - d s e n ln ⁡ x d x

Ambas as derivadas são obtidas pela regra da cadeia, mas perceba que a derivada de c o s ln ⁡ x já foi calculada no item anterior.

Porém a derivada de s e n ln ⁡ x não foi calculada

d s e n ln ⁡ x d x = d ln ⁡ x d x · d s e n u d u

Já vimos que a derivada de ln ⁡ x é igual a 1 / x e pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de s e n x é igual a cos ⁡ x , ou seja

d s e n ln ⁡ x d x = 1 x · cos ⁡ u

Substituindo u por ln ⁡ x de volta

d s e n ln ⁡ x d x = 1 x cos ⁡ ln ⁡ x

Substituindo esse resultado e o resultado da derivada de c o s ln ⁡ x que calculamos anteriormente, temos

y ' ' = - 1 x s e n ln ⁡ x - 1 x cos ⁡ ln ⁡ x

Bacana, não é? 😎

Passo 4

Agora substituímos y ' ' , y ' e y na EDO e vemos se a igualdade é satisfeita

x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0

x 2 - 1 x s e n ln ⁡ x - 1 x cos ⁡ ln ⁡ x - x c o s ln ⁡ x - s e n ln ⁡ x + 2 x c o s ln ⁡ x = 0

Simplificando a equação

- x s e n ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - x c o s ln ⁡ x + x s e n ln ⁡ x + 2 x c o s ln ⁡ x = 0

Repara que os x s e n ln ⁡ x se anulam e os x c o s ln ⁡ x também.

0 = 0

Logo y é solução da EDO!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

É solução.

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