Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(z) y ' ' ' - y ' ' + 9 y ' - 9 y = 0 ; y = c 1 sin ⁡ 3 x + c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos uma EDO dada por y ' ' ' - y ' ' + 9 y ' - 9 y = 0 e uma suposta solução para y onde y = c 1 sin ⁡ 3 x + c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x em que c 1 e c 2 são constantes.

Dizemos que essa é uma suposta solução pois cabe a nós verificarmos se essa solução realmente é solução da EDO ou não.

E esse é justamente o objetivo da nossa questão!

Entendeu? Como podemos fazer?? 🤔🤔

O que podemos fazer é analisar a EDO e ver o que é necessário para substituir a solução nela e verificar se a equação é satisfeita.

Caso a equação for satisfeita, significa que y é realmente solução da EDO.

Bora ver na prática? 😁

Passo 2

A EDO é dada por y ' ' ' - y ' ' + 9 y ' - 9 y = 0 como vemos no enunciado e no passo 1.

Nela podemos perceber que usamos y ' ' ' , y ' ' , y ' e y .

Ou seja, temos que obter as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem de y antes de de fato fazer as substituições.

Derivando y , vamos obter

y ' = d c 1 sin ⁡ 3 x + c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, logo

y ' = d c 1 sin ⁡ 3 x d x + d c 2 cos ⁡ 3 x d x + d 4 e x d x

A derivada de sin ⁡ 3 x e de cos ⁡ 3 x são obtidas pela regra da cadeia já que temos uma função composta.

Já a derivada de 4 e x é obtida pelo teorema fundamental do cálculo.

Substituindo 3 x por u na derivada de fora de sin ⁡ 3 x e cos ⁡ 3 x .

y ' = c 1 d 3 x d x d sin ⁡ u d x + c 2 d 3 x d x d cos ⁡ u d x + d 4 e x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo sabemos que a derivada de sin ⁡ x é igual a cos ⁡ x e a derivada de cos ⁡ x é igual a - sin ⁡ x .

Já a derivada de e x é igual a e x .

Logo se a derivada de 3 x é obtida pelo método de derivação polinomial, temos

y ' = c 1 3 cos ⁡ u + c 2 3 - sin ⁡ u + 4 e x

Substituindo u por 3 x de volta e simplificando o resultado

y ' = 3 c 1 cos ⁡ 3 x - 3 c 2 sin ⁡ 3 x + 4 e x

Essa é a primeira derivada de y !

Falta mais algumas... tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora para obter a segunda derivada de y , derivamos y ' com relação a x

y ' ' = d 3 c 1 cos ⁡ 3 x - 3 c 2 sin ⁡ 3 x + 4 e x d x

Separando pela derivada da soma novamente, temos

y ' ' = d 3 c 1 cos ⁡ 3 x d x - d 3 c 2 sin ⁡ 3 x d x + d 4 e x d x

Reescrevendo essas derivadas como

y ' ' = 3 d c 1 cos ⁡ 3 x d x - 3 d c 2 sin ⁡ 3 x d x + d 4 e x d x

Perceba que já calculamos essas derivadas então podemos substituir os valores, veja só!

Vimos que a derivada de c 1 cos ⁡ 3 x é igual a - 3 c 1 sin ⁡ 3 x , a derivada de c 2 sin ⁡ 3 x é igual a 3 c 2 cos ⁡ 3 x e a derivada de 4 e x é 4 e x . Logo

y ' ' = 3 - 3 c 1 sin ⁡ 3 x - 3 3 c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x

Simplificando os resultados, temos

y ' ' = - 9 c 1 sin ⁡ 3 x - 9 c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x

Bacana, não é? 🤩

Passo 4

Por último, vamos obter a derivada terceira de y antes de aplicas as substituições derivando y ' ' .

y ' ' ' = d - 9 c 1 sin ⁡ 3 x - 9 c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x d x

Separando as derivadas e organizando como no passo anterior

y ' ' ' = - 9 d c 1 sin ⁡ 3 x d x - 9 d c 2 cos ⁡ 3 x d x + d 4 e x d x

Novamente caímos em derivadas que já calculamos então vamos simplesmente substituir os resultados

y ' ' ' = - 9 3 c 1 cos ⁡ 3 x - 9 - 3 c 2 sin ⁡ 3 x + 4 e x

Simplificando o resultado, temos

y ' ' ' = - 27 c 1 cos ⁡ 3 x + 27 c 2 sin ⁡ 3 x + 4 e x

Agora sim temos todos as derivadas de y que precisamos!

Podemos começar a fazer as substituições. Bora lá! 😉

Passo 5

Substituindo y , y ' , y ' ' e y ' ' ' na EDO, temos

y ' ' ' - y ' ' + 9 y ' - 9 y = 0

- 27 c 1 cos ⁡ 3 x + 27 c 2 sin ⁡ 3 x + 4 e x - - 9 c 1 sin ⁡ 3 x - 9 c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x + 9 3 c 1 cos ⁡ 3 x - 3 c 2 sin ⁡ 3 x + 4 e x - 9 c 1 sin ⁡ 3 x + c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x = 0

Enorme, não é? 👀👀

Mas relaxa, vamos simplificar um pouquinho

- 27 c 1 cos ⁡ 3 x + 27 c 2 sin ⁡ 3 x + 4 e x + 9 c 1 sin ⁡ 3 x + 9 c 2 cos ⁡ 3 x - 4 e x + 27 c 1 cos ⁡ 3 x - 27 c 2 sin ⁡ 3 x + 36 e x - 9 c 1 sin ⁡ 3 x - 9 c 2 cos ⁡ 3 x - 36 e x = 0

Juntando os termos de cos ⁡ 3 x , sin ⁡ 3 x e e x , vamos obter

- 27 c 1 + 9 c 2 + 27 c 1 - 9 c 2 cos ⁡ 3 x + 27 c 2 + 9 c 1 - 27 c 2 - 9 c 1 sin ⁡ 3 x + 4 - 4 + 36 - 36 e x = 0

Perceba que todos os termos se cancelam resultando em

0 cos ⁡ 3 x + 0 sin ⁡ 3 x + 0 e x = 0

0 = 0

A equação foi satisfeita! Logo y = c 1 sin ⁡ 3 x + c 2 cos ⁡ 3 x + 4 e x é solução da EDO!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

É solução da EDO.

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