Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(g) y ' + y = sin ⁡ x ;   y = 1 2 sin ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x + 10 e - x .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão vamos bancar uma de detetive e investigar se a solução y que foi dada satisfaz a EDO.

No caso a solução é y = e a EDO é y ' + y = sin ⁡ x .

Tem ideia do que podemos fazer?? 🤔

Temos uma forma bem direta de resolver esse problema. Que tal obter as derivadas necessárias e substituir na EDO.

Com isso, caso a solução seja verídica, a equação deverá ser satisfeita.

Preparado? Bora começar! 😁

Passo 2

Analisando a EDO, vemos que temos uma equação linear de primeira ordem, ou seja, a máxima derivada que ela contém é a primeira derivada da solução.

Assim, temos que derivar a suposta solução y uma vez apenas. Ou seja:

d y d x = d 1 2 sin ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x + 10 e - x d x

Como a derivada da soma é a soma das derivadas, temos

d y d x = d 1 2 sin ⁡ x d x + d 1 2 cos ⁡ x d x + d 10 e - x d x

Vamos colocar as constantes fora das derivadas para facilitar a visualização do que estamos fazer

d y d x = 1 2 d sin ⁡ x d x + 1 2 d cos ⁡ x d x + 10 d e - x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, vemos que a derivada de s i n x é igual a cos ⁡ x e a derivada de cos ⁡ x é igual a - sin ⁡ x , logo

1 2 d sin ⁡ x d x = 1 2 cos ⁡ x

1 2 d cos ⁡ x d x = - 1 2 sin ⁡ x

Já a derivada de e - x é obtida pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora) lembra?

Substituindo - x por u , na derivada de fora, temos

10 d e - x d x = 10 ( d - x d x · d e u d u

10 d e - x d x = - 10 e u

Substituindo u por - x de volta

10 d e - x d x = - 10 e - x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Juntando os resultados das derivadas de y , temos

d y d x = 1 2 cos ⁡ x - 1 2 sin ⁡ x - 10 e - x

Substituindo y ' e y na EDO, vamos obter

1 2 cos ⁡ x - 1 2 sin ⁡ x - 10 e - x + 1 2 sin ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x + 10 e - x = sin ⁡ x

Simplificando os valores

1 2 cos ⁡ x - 1 2 sin ⁡ x - 10 e - x + 1 2 sin ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x + 10 e - x = sin ⁡ x

1 2 cos ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x = sin ⁡ x

cos ⁡ x = sin ⁡ x

A igualdade não foi satisfeita, portanto, y não é solução da EDO!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A solução y não é solução dessa EDO.

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