Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(e) y ' = 25 + y 2 ;   y = 5 tan ⁡ 5 x .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos que bancar uma de detetive e investigar se a solução y = 5 tan ⁡ 5 x satisfaz a EDO dada por y ' = 25 + y 2 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer pra responder esse probleminha?? 🤔🤔

A maneira mais direta é fazer as derivações necessárias em y e substitui-las, juntamente com y na EDO e verificar se a equação é satisfeita.

Outra maneira é obter a solução geral da EDO por meio de algum método e verificar se existe alguma forma de escrever a solução geral de modo que fique igual a y .

Então, qual maneira vamos seguir? 😁

Passo 2

Como seguimos uma lei da natureza dos fluídos, vamos escolher o caminho de menor resistência rsrsrs.

Nossa EDO é dada por y ' = 25 + y 2 . Analisando essa equação, vemos que temos uma EDO não-linear de primeira ordem, ou seja, a maior derivada que temos é a derivada de ordem 1 de y .

Com isso, vamos derivar y e substituir, junto com y em y 2 , na EDO.

Derivando y , temos

d y d x = d 5 tan ⁡ 5 x d x

Aplicando a rega da cadeia, temos que a derivada de dentro 5 x multiplicada pela derivada de fora tan ⁡ u é

d y d x = 5 d 5 x d x · d tan ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de tan ⁡ x é igual a s e c 2 x , logo

d y d x = 5 5 · s e c 2 u

Substituindo u por 5 x de volta e simplificando o resultado

d y d x = 25 s e c 2 5 x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo y e sua derivada na EDO, temos

25 s e c 2 5 x = 25 + 5 tan ⁡ 5 x 2

Simplificando o termo 5 tan ⁡ 5 x 2

25 s e c 2 5 x = 25 + 25 t a n 2 5 x

Vamos dividir os dois lados por 25 pra descarregar a equação

s e c 2 5 x = 1 + t a n 2 5 x

Como podemos verificar se essa equação é verdadeira? Não tão intuitivo apenas olhando, concorda? 🤔

Temos que obter alguma relação trigonométrica que nos prove que essa equação é verdadeira ou falsa. Portanto temos que escrever s e c 2 5 x como 1 + t a n 2 5 x ou 1 + t a n 2 5 x como s e c 2 5 x .

Qual é a maior relação trigonométrica de todas? A parametrização da circunferência, não é?

c o s 2 x + s e n 2 x = 1

Vamos dividir os dois lados por c o s 2 x

c o s 2 x c o s 2 x + s e n 2 x c o s 2 x = 1 c o s 2 x

O que é s e n 2 x c o s 2 x ? t a n 2 x , correto? E o que é 1 c o s 2 x ? s e c 2 x , correto?

Essas relações são mais comuns

Simplificando a equação e fazendo as substituições, temos

1 + t a n 2 x = s e c 2 x

Se chamarmos 5 x de x na nossa solução, vamos obter exatamente o mesmo resultado!

s e c 2 5 x = 1 + t a n 2 5 x ↔ s e c 2 x = 1 + t a n 2 x

Portanto, vemos que SIM! A solução y = 5 tan ⁡ 5 x é uma solução da nossa EDO!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y = 5 tan ⁡ 5 x é uma solução da nossa EDO

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