Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(w) x d 2 y d x 2 + 2 d y d x = 0 ;   y = c 1 + c 2 x - 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, foi dada uma EDO e uma possível solução y para essa EDO.

Dizemos que é uma possível solução pois temos que verificar se realmente a solução y é solução da EDO ou se não é.

Mas como fazemos isso? 🤔🤔

Podemos verificar a veracidade dessa solução substituindo y e suas derivadas na equação e ver se a igualdade é satisfeita. Que tal?

Caso a igualdade for satisfeita, vai significar que a solução y realmente é solução da EDO.

Mas caso a igualdade da equação não seja satisfeita, a solução y não será solução da EDO dada.

Entendeu? Vamos ver como fica na prática! 😁😁

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a EDO que nos deram x d 2 y d x 2 + 2 d y d x = 0

Vemos que a equação possui a derivada segunda de y e a derivada primeira, ou seja, temos que calcular a d 2 y d x 2 e d y d x antes de substituir na equação.

Calculando a derivada de y

d y d x = d c 1 + c 2 x - 1 d x

Pelo método de integração polinomial, temos

d y d x = 0 c 1 + - 1 c 2 x - 1 - 1

d y d x = - c 2 x - 2

Agora com base nesse resultado, vamos derivar novamente para obter a segunda derivada de y

d 2 y d x 2 = d - c 2 x - 2 d x

Novamente pelo método de derivação polinomial

d 2 y d x 2 = - 2 - c 2 x - 2 - 1

d 2 y d x 2 = 2 c 2 x - 3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora que encontramos todos os valores necessários, podemos começar a substituir na EDO

Substituindo d y d x e d 2 y d x 2 na nossa EDO, temos

x d 2 y d x 2 + 2 d y d x = 0

x 2 c 2 x - 3 + 2 - c 2 x - 2 = 0

Simplificando o resultado, vamos obter

2 c 2 x - 2 - 2 c 2 x - 2 = 0

Como 2 c 2 x - 2 aparece somando e subtraindo na equação

0 = 0

A igualdade é satisfeita, portanto a solução y dada é SIM solução da EDO!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

É solução.

Exercícios de Livros Relacionados

Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas do aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P ( t ) , o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use o campo de direções I para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1