Problema 6 - Encontre valores de m para que y = e m x seja uma solução para cada equação diferencial.

(a) y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, temos uma EDO dada por y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0 e uma solução dada por y = e m x onde m é um valor que temos que determinar de modo que a solução y satisfaça a EDO.

Esse é o nosso objetivo!

Mas tem ideia de como fazer isso?? 🤔🤔

O que podemos fazer é analisar a EDO e substituir y e as derivadas necessárias na equação forçando a igualdade a ser satisfeita.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

A EDO é dada por y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0 , ou seja, temos que obter y ' e y ' ' antes de aplicar as substituições na equação.

Derivando y , vamos obter

y ' = d e m x d x

Aplicando a regra da cadeia fazendo a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora e substituindo m x pou u na derivada de fora, temos

y ' = d m x d x · d e u d u

A derivada de m x é obtida pelo método da derivação polinomial, já a derivada de e u , pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que é igual a e u

y ' = m · e u

Substituindo u por m x de volta, temos

y ' = m e m x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos obter a derivada y ' ' derivando y '

y ' ' = d m e m x d x

Como m é uma constante, podemos reescrever a derivada como

y ' ' = m d e m x d x

Mas acabamos de obter a derivada de e m x , não foi? Então podemos apenas substituir o resultado

y ' ' = m m e m x

y ' ' = m 2 e m x

Entendeu essa parte? 🤩

Passo 4

Agora o que vamos fazer é substituir y , y ' e y ' ' na equação e forçar a igualdade para obter m , veja só!

y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0

m 2 e m x - 5 m e m x + 6 e m x = 0

Colocando e m x em evidência no lado esquerdo, temos

m 2 - 5 m + 6 e m x = 0

Dividindo os dois lados da equação por e m x

m 2 - 5 m + 6 e m x e m x = 0 e m x

m 2 - 5 m + 6 = 0

Assim, vamos obter m por Bhaskara.

m = - - 5 ± - 5 2 - 4 · 1 · 6 2 · 1

m = 5 ± 1 2

Assim, temos dois valores para m

m 1 = 3 m 2 = 2

Dessa forma, nossa solução y pode assumir dois valores

y = e 3 x   ou y = e 2 x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

m 1 = 3 m 2 = 2

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