Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(v) y ' ' + 25 y = 0 ;   y = c 1 cos ⁡ 5 x .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Este probleminha, nos deu uma EDO e uma possível solução dessa EDO.

No caso a EDO é a seguinte: y ' ' + 25 y = 0

Já a suposta solução é dada como y = c 1 cos ⁡ 5 x , em que c 1 é uma constante.

É dito que y é uma suposta solução, pois nós vamos ter que dizer se realmente a EDO é satisfeita com essa solução ou não.

Ok, mas como podemos saber se a solução satisfaz a EDO?? 🤔🤔

De maneira direta, podemos substituir y e suas derivadas na EDO e ver se a igualdade da equação é satisfeita, o que você acha?

Bora ver como vamos desenvolver o problema! 😁😁

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a EDO para ver o que vamos precisar para fazer as substituições

A EDO é y ' ' + 25 y = 0 , logo vemos que é uma EDO de segunda ordem, ou seja, temos que obter a segunda derivada de y antes de substitui na equação.

Derivando y , temos

y ' = d c 1 cos ⁡ 5 x d x

Aplicando a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora).

Substituindo 5 x por u na derivada de fora.

y ' = c 1 d 5 x d x d cos ⁡ u d u

Sabemos que a derivada de cos ⁡ x é igual a - s e n x pelo teorema fundamental do cálculo, logo

y ' = c 1 5 - s e n u

Organizando o resultado e substituindo u por 5 x de volta

y ' = - 5 c 1 s e n 5 x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora temos que derivar y ' que acabamos de calcular para obter y ' '

y ' ' = d - 5 c 1 s e n 5 x d x

Novamente pela regra da cadeia, temos

y ' ' = - 5 c 1 d 5 x d x d s e n u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de s e n x é igual a cos ⁡ x , logo

y ' ' = - 5 c 1 5 cos ⁡ u

Organizando o resultado e substituindo u por 5 x

y ' ' = - 25 c 1 cos ⁡ 5 x

Agora sim temos todos os dados necessária para substituir na EDO.

Substituindo y ' ' e y , vamos obter

y ' ' + 25 y = 0

- 25 c 1 cos ⁡ 5 x + 25 c 1 cos ⁡ 5 x = 0

- 25 c 1 cos ⁡ 5 x + 25 c 1 cos ⁡ 5 x = 0

Perceba que 25 c 1 cos ⁡ 5 x aparece somando e subtraindo na equação, logo temos

0 = 0

A equação é satisfeita, portanto a solução y satisfaz a EDO!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y satisfaz a EDO

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