Problema 1 - Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.

j) 1 - y 2 d x + x d y = 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos que classificar a EDO dada por 1 - y 2 d x + x d y = 0 dizendo se ela é uma EDO linear ou se é não-linear.

Além disso, vamos definir a ordem da nossa EDO.

Já sabe como fazemos para definir essas classificações?? 🤔

Para a gente classificar uma EDO como linear ou não-linear, temos que verificar duas características na formula da EDO.

Uma EDO linear pode ser escrita

a n x d n y d x n + a n - 1 x d n - 1 y d x n - 1 + a n - 2 x d n - 2 y d x n - 2 + … + a 0 x d 0 y d x 0 = g x

A primeira característica é que todos os termos a n x , a n - 1 x , a n - 2 x ... a 0 x não podem ser compostos pela variável dependente.

Ou seja, não pode haver y nesses termos.

Outra característica uma EDO linear deve ter é que não pode existir uma derivada da variável dependente elevada a uma potência diferente de 1 ou de 0 (no caso de g x )

Ou seja, se tivermos d y d x 2 ou y ' 2 já era! Essa EDO não vai ser linear.

Por fim, a ordem da EDO é a maior ordem de derivação que tem na equação.

Entendeu? Bora ver no nosso caso! 😁

Passo 2

Como vimos no passo anterior, a EDO que foi dada é

1 - y 2 d x + x d y = 0

A primeira coisa a se fazer, é organizar a equação de modo de tenhamos d y / d x .

Passando x d y para o outro lado, temos

1 - y 2 d x = - x d y

Podemos multiplicar os dois lados - 1

- 1 - y 2 d x = x d y

Perceba que - 1 - y 2 = y 2 - 1 , logo

y 2 - 1 d x = x d y

Passando o d x dividindo o d y , temos

x d y d x = y 2 - 1

Organizando um pouquinho mais, vamos obter

x d y d x - y 2 = - 1

Ou também, podemos escrever como

x y ' - y 2 = - 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora verificamos as características que vemos lá no passo 1

A primeira é que tudo que está multiplicando y e y ' são variáveis independentes e constantes.

Vemos que em y ' , temos apenas x multiplicando, então está tudo certo!

Já em y não está tudo bem, já que temos y 2 . Isso é como se nossa EDO fosse assim

x y ' - y y = - 1

Essa parte derruba a possibilidade de da nossa EDO ser linear.

Outra possibilidade de imaginar é que y é a derivada de ordem 0 de y , ou seja

d 0 y d y 0

E como y está elevado ao quadrado, temos

d 0 y d y 0 2

E pela segunda característica que definimos no passo 1, isso não pode acontecer. Com isso, nossa EDO é Não-linear

Por fim, vemos que a maior ordem de derivada que temos na equação é 1 , d y d x ou y ' .

Logo, nossa EDO é de primeira ordem!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

EDO Não-linear de primeira ordem.

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