Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão Q08

Classificando as seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR

a) d 2 y d x 2 = - 2 x d y d x + 2 y

b) d x d t = k ( 4 - x ) ( 1 - x )  

encontramos:

( ) (a) não linear (b) não linear

( ) impossível identificar

( ) (a) linear (b) não linear

( ) (a) linear (b) linear

( ) (a) não linear (b) linear

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente veja se as equações são lineares ou não lineares.

Para uma equação ser linear, ela deve ser escrita da seguinte forma:

a 0 t y ( n ) + a 1 t n - 1 +   .   .   .   + a n t y = g ( t )

Ou seja, para uma função do tipo y ( t ) , os coeficientes das derivadas e da função devem ser funções de t .

Vamos analisar a primeira equação:

d 2 y d x 2 = - 2 x d y d x + 2 y

A função é do tipo y ( x ) , então todos os coeficientes devem ser funções de x . É exatamente o que temos aqui, logo é uma equação linear.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos para a segunda equação.

d x d t = k ( 4 - x ) ( 1 - x )  

Nesse caso, temos a função como x ( t ) , logo vamos analisar os coeficientes.

  d x d t = k 4 - 5 x + x 2 d x d t + 5 - x . x - 4 k = 0    

O coeficiente de x não é uma função de t e, sim, de x .

Logo, essa equação é não linear.

Resposta

(a) Linear

(b) Não linear

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