Dadas as EDOs abaixo, determine quais são lineares.

I- y ' + 1 4 x y = x 4

II- y ' - 2 x y = x

III- y ' - 3 y = 6

( ) Apenas a I

( ) Apenas a III

( ) Nenhuma alternatina anterior está correta

( ) Apenas a II.

( ) I, II e III são lineares.

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente veja quais EDOs são lineares. Para uma equação ser linear, ela deve ser escrita da seguinte forma:

a 0 t y ( n ) + a 1 t n - 1 +   .   .   .   + a n t y = g ( t )

Ou seja, para uma função do tipo y ( t ) , os coeficientes das derivadas e da função devem ser funções de t .

Vamos analisar a primeira equação

I- y ' + 1 4 x y = x 4

Temos uma função da forma y ( x ) , logo os coeficientes devem ser funções de x . Nesse caso, todos os coeficientes são funções de x . Então, temos uma EDO linear.

Passo 2

Agora, vamos para a segunda equação:

II- y ' - 2 x y = x

Novamente, temos uma função da forma y ( x ) , logo os coeficientes devem ser funções de x .

Como os coeficientes são funções de x . Novamente, temos uma EDO linear.

Passo 3

Agora, vamos para a terceira equação:

III- y ' - 3 y = 6

Nesse caso, os coeficientes são constantes, logo a EDO sempre será linear.

Resposta

I, II e III são lineares.

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