Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 8, Questão 7

Determine os possíveis valores da constante p para que a função f x = x p seja solução da equação x 2 y ' ' - 4 x y ' + 4 y = 0 , no intervalo I = ( 0 , ) .

Passo 1

Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas

1. A função dada está bem definida no intervalo?

2. Se eu substituir a expressão da f no y da equação, a igualdade é satisfeita?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.

Vamos separar em alguns casos de p .

1. Caso p < 0 :

Nesse caso a gente tem que

x p = 1 x p

Então precisamos garantir que o denominador não é zero. Isso não ocorre, porque no intervalo I temo que x 0 .

2. Caso p = 1 2 , 1 4 , 1 6 ,

Nesse caso vamos ter raiz com índice par, por exemplo

x 1 2 = x

Temos que garantir que nesses casos, não há valores negativos. De novo como em I só temos valores positivos para x , o argumento dentro da raiz é sempre positivo e não tem problema.

3. Outros valores de p

Os outros valores de p geram polinômios quaisquer que são sempre bem definidos.

Em todos os casos a nossa função está bem definida!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar f onde tem y e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se

x 2 f ' ' - 4 x f ' + 4 f = 0

Vamos derivar a expressão de f :

f ' = x p ' = p x p - 1

f ' ' = f ' ' = p x p - 1 ' = p p - 1 x p - 2

Agora vamos juntar tudo

x 2 f ' ' - 4 x f ' + 4 f = x 2 p p - 1 x p - 2 - 4 x p x p - 1 + 4 x p = p p - 1 x p - 4 p x p + 4 x p = x p ( p p - 1 - 4 p + 4 )

Show, agora vamos forçar esse resultado a ser igual a 0 para satisfazer a igualdade!

x p p p - 1 - 4 p + 4 = 0

Como x p 0 , então temos que

p p - 1 - 4 p + 4 = 0 p 2 - 5 p + 4 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos que

p = 1

p = 4

Então para todos os valores reais a função está definida, mas apenas para esses dois valores de p temos a igualdade mantida!

Resposta

p = 1 ,       p = 4

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