Questão 2: Sabendo que y = y x é uma diferenciável que satisfaz a identidade

∫ C y x e - r d r = ∫ 1 x s e s d s

Para todo x ≥ 1 , podemos concluir que

  1. y ' = x e x + y e y 1 = C .
  2. y ' = - x e x + y e y 1 = C .
  3. y ' = x e x + y e y 1 = 0 .
  4. y ' = - x e x + y e y 1 = 0 .
  5. y ' = - x e x + y e não há informação suficiente para concluir quanto vale y 1 .

Passo 1

Bem são integrais bem legais de se resolver, então vamos calcula-las primeiro:

∫ C y x e - r d r = ∫ 1 x s e s d s   →

  - e - r   C y x =     s e s - e s   1 x →

Substituindo os valores de integração...

- e - y x + e - C =   x e x - e x - e 1 - e 1 →

- e - y x =   x e x - e x - e - C   →

e - y x = -   x e x + e x + e - C   →

Podemos agora aplicar l n dos dois lados e...

ln ⁡ e - y x = ln ⁡ -   x e x + e x + e - C

- y x = ln ⁡ -   x e x + e x + e - C

y x = - ln ⁡ -   x e x + e x + e - C

Passo 2

Agora vamos derivar e ver no que a gente consegue chegar...

Usando a regra da cadeia:

y ' x = - 1 -   x e x + e x + e - C ⋅ -   x e x + e x + e - C ' →

Ora, -   x e x + e x + e - C = e - y do passo anterior, então...

-   x e x + e x + e - C ' = - e x - x e x + e x

y ' x = - 1 e - y ⋅ - x e x + e x + e x →

y ' x = 1 e - y ⋅ x e x →

y ' x = e y ⋅ e x x →

y ' x = x e y + x  

Passo 3

Para saber o valor da função no ponto x = 1 , basta substituir aqui na relação...

∫ C y 1 e - r d r = ∫ 1 1 s e s d s = 0

Ora, para essa integral aqui ser 0 ...

∫ C y 1 e - r d r = 0

Como e - r nunca é 0 , então...

y 1 = C

Saca?

Resposta

a )   y ' = x e x + y e y 1 = C .

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