Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2018.2, Questão 2

Questão 2: Sabendo que y = y x é uma diferenciável que satisfaz a identidade

C y x e - r d r = 1 x s e s d s

Para todo x 1 , podemos concluir que

  1. y ' = x e x + y e y 1 = C .
  2. y ' = - x e x + y e y 1 = C .
  3. y ' = x e x + y e y 1 = 0 .
  4. y ' = - x e x + y e y 1 = 0 .
  5. y ' = - x e x + y e não há informação suficiente para concluir quanto vale y 1 .

Passo 1

Bem são integrais bem legais de se resolver, então vamos calcula-las primeiro:

C y x e - r d r = 1 x s e s d s  

  - e - r   C y x =     s e s - e s   1 x

Substituindo os valores de integração...

- e - y x + e - C =   x e x - e x - e 1 - e 1

- e - y x =   x e x - e x - e - C  

e - y x = -   x e x + e x + e - C  

Podemos agora aplicar l n dos dois lados e...

ln e - y x = ln -   x e x + e x + e - C

- y x = ln -   x e x + e x + e - C

y x = - ln -   x e x + e x + e - C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos derivar e ver no que a gente consegue chegar...

Usando a regra da cadeia:

y ' x = - 1 -   x e x + e x + e - C -   x e x + e x + e - C '

Ora, -   x e x + e x + e - C = e - y do passo anterior, então...

-   x e x + e x + e - C ' = - e x - x e x + e x

y ' x = - 1 e - y - x e x + e x + e x

y ' x = 1 e - y x e x

y ' x = e y e x x

y ' x = x e y + x  

Passo 3

Para saber o valor da função no ponto x = 1 , basta substituir aqui na relação...

C y 1 e - r d r = 1 1 s e s d s = 0

Ora, para essa integral aqui ser 0 ...

C y 1 e - r d r = 0

Como e - r nunca é 0 , então...

y 1 = C

Saca?

Resposta

a )   y ' = x e x + y e y 1 = C .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas