5. Considere a função f :   R - - 5 2 → R - 1 2 dada por f x = x - 1 2 x + 5 e as seguintes afirmações

  1. f é injetora
  2. f é sobrejetora
  3. f é inversível e sua inversa é dada por f - 1 x = 5 x + 1 1 - 2 x
  4. O gráfico de f intercepta o eixo x em apenas um valor

Quantas afirmações são verdadeiras:

  1. 0
  2. 1
  3. 4
  4. 2
  5. 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que verificar qual frase é verdade, com base na função dada. Repare que as afirmações são sobre funções sobrejetoras e injetoras. Então vamos revisar essas definições!

Para quem não lembra:

- Uma função f é injetora se para dois pontos quaisquer pertencentes ao domínio de f : x 1 ≠ x 2

Tivermos:

f x 1 ≠ f ( x 2 )

- Uma função f é sobrejetora se para cada valor de y existir ao menos um valor de x associado:

y 1 → x 1

Agora bora analisar por partes!

Passo 2

Vamos começar avaliando se ela é injetora e sobrejetora. Repara que temos, uma divisão de função do primeiro grau! E toda função do primeiro grau é injetora e sobrejetora. Então a nossa função também será injetora e sobrejetora.

O gráfico ficaria mais ou menos assim:

Logo, a I e I I são verdadeiras.

Passo 3

Agora vamos avaliar a sua função inversa! Temos que

y = x - 1 2 x + 5

Transformando tudo que é x em y e vice-versa, ficamos com

x = y - 1 2 y + 5

Ao isolar y , teremos a nossa função inversa f - 1 x . Ela ficará assim,

x 2 y + 5 = y - 1

2 y x + 5 x = y - 1

2 y x - y = 5 x - 1

Colocando y em evidencia,

y 2 x - 1 = - 5 x - 1

Multiplicando por - 1

y - 2 x + 1 = 5 x + 1

y = 5 x + 1 1 - 2 x

Logo,

f - 1 x = 5 x + 1 1 - 2 x

Logo a afirmação I I I é verdadeira.

Passo 4

Por fim, temos a seguinte afirmação: gráfico de f intercepta o eixo x em apenas um valor. Como vimos no Passo 2, o gráfico só corta o eixo x em x = 1 . Logo todas alternativas são verdadeiras.

Resposta

c

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