Sejam f e g funções contínuas em [ a , b ] , tais que f a > g ( a ) e f b < g ( b ) . Mostre que a equação f x = g ( x ) tem solução.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos disse que temos duas funções f ( x ) e g ( x ) e que ambas são contínuas em um determinado intervalo fechado

[ a , b ]

Tudo bem até aqui?

E o problema também nos disse como essas funções se comportam nos extremos desse intervalo. No início dele, em x = a

f a > g ( a )

Ou seja, a função f está acima da função g

E no outro extremo, em x = b

f b < g ( b )

f está abaixo de g !

Dito isso, o problema pede para mostrar que a equação

f x = g ( x )

Tem solução. Mas como fazer isso? A ideia aqui é colocar essas informações em um gráfico genérico e observar se essa igualdade acontece!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Temos duas funções quaisquer, vou desenhar f ( x ) de azul e g ( x ) de vermelho, ok? E sabemos que essas funções são contínuas dentro do intervalo [ a , b ] . Sabemos também que a f começa por cima, mas que em algum momento, ela termina embaixo da g . Essa situação pode ser representada assim

E o problema pede para que mostremos que a equação

f x = g ( x )

Tem solução. Ora ora, o que significa graficamente a função f ser igual a função g ?

Significa que elas se cruzam!

E vemos que isso claramente acontece com as funções f e g !

Como as funções são contínuas, temos certeza de que não é preciso ‘tirar o lápis do papel’ para esboçar as duas, então como a f começa embaixo da g e termina em cima, isso significa que em algum momento as duas valem o mesmo!

Tendo assim solução!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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