1. Considere a função f x = x 2 - x - 2   ,   x ≥ 2 .
  1. Determine o domínio de f - 1 e a sua expressão.

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Aqui nesse problema ele nos dá uma função

f x =   x 2 - x - 2  

Que possui domínio e imagem dados por: D o m   f = 2 , ∞ I m   f = [ 0 , ∞ )

E a questão nos pede para calcular a função inversa f - 1 . Vamos lembrar aqui rapidinho quem é esse cara doido aí... Quando temos uma função f ( x ) a gente pode escrever como sendo uma função y : y = x 2 - x - 2  

E nesse caso a gente tem o y sendo função de x , certo? A inversa vai ser a gente conseguir escrever o x como sendo uma função de y . Geralmente a gente só substitui x por y e manipula mas nesse problema a gente vai ter que ter uns cuidados a mais que eu já vou falar, beleza?Ahh e não esquece que o domínio e a imagem são importantes para a gente definir melhor o f - 1 . Como a gente tem uma relação de inversão, temos que esses conjuntos se invertem também, então temos: D o m   f - 1 = 0 , ∞ I m   f - 1 = [ 2 , ∞ )

Então vamos lá resolver essa 😊

Passo 2

Bom, vamos escrever a nossa função como

y = x 2 - x - 2  

Como eu quero isolar x em função de y , vamos manipular essa expressão elevando ao quadrado os dois lados: y 2 =   x 2 - x - 2  

Aqui que geralmente a gente troca x por y e resolve, mas como temos uma função do segundo grau a gente precisa manipular um pouco mais. Olha o que acontece se eu adicionar 9 4 nos dois lados da igualdade (isso não altera em nada as nossas funções, beleza): y 2 + 9 4 =   x 2 - x - 2 + 9 4

Se resolvermos aquela soma da direita temos: y 2 + 9 4 =   x 2 - x + 1 4

E aí é que tá o porquê de eu adicionar 9 / 4 !! Na direita a gente tem um trinômio do quadrado perfeito: x 2 - x + 1 4 = x - 1 2 2

E aí a nossa expressão fica melhor, né?

y 2 + 9 4 =   x 2 - x + 1 4 y 2 + 9 4 =   x - 1 2 2

Agora que a gente sumiu com aquela função do segundo grau podemos trocar x por y : x 2 + 9 4 =   y - 1 2 2

Tirando a raiz dos dois lados temos:

± x 2 + 9 4 = y - 1 2 y = 1 2 ± x 2 + 9 4

E então temos duas possíveis caras para a nossa função inversa: f - 1 x = 1 2 + x 2 + 9 4 f - 1 x = 1 2 - x 2 + 9 4  

Passo 3

Para a gente ver qual delas é a forma certa a gente tem que olhar o domínio a imagem que essa função tem que ter: D o m   f - 1 = 0 , ∞ I m   f - 1 = [ 2 , ∞ )

Pela imagem a gente tem um resultado que pode furar uma daquelas hipóteses ali. A gente tem que ter que a função inversa para x = 0 tem que ser igual a 2 : f - 1 0 = 2

Olhando a primeira hipótese temos:

f - 1 0 = 1 2 + 0 2 + 9 4 =   1 2 + 9 4 f - 1 0 = 1 2 + 3 2 f - 1 0 = 2

OPA!! Essa deu certo aqui. Vamos ver a mesma coisa para a segunda hipótese: f - 1 0 = 1 2 - 0 2 + 9 4 =   1 2 - 9 4 f - 1 0 = 1 2 - 3 2 f - 1 0 = - 1 OLHA LÁ! Essa função não dá um resultado que está na imagem, ou seja, essa não pode ser a nossa função inversa. Então a função inversa é dada por:

f - 1 x = 1 2 + x 2 + 9 4 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

f - 1 x = 1 2 + x 2 + 9 4 D o m   f - 1 = 0 , ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Os registros de temperatura T ( ° C ) foram tomados de duas em duas horas a partir da meia noite até as 15 horas, em Montreal, em 13 de junho de 2004. O tempo foi medido em horas após meia noite.a) Us
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico. f x = 3 x - 6
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico. f x = x 2 - 4 ,s ex ≠ - 3 - 2 ,s ex = - 3
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico. f x = | 4 - x |
Use a equação y = x 2 - 6 x + 8 para responder as questões.Com quais valores de x vale y = 0 Com quais valores de x vale y = - 10 Com quais valores de x vale y ≥ 0 Tera y um valor mínimo? Um valor máx