Estude o sinal (determine onde é positiva e onde é negativa) das funções y = f x :

c )   y = x 2 + 2 x + 1

Passo 1

Faaaala galera, tudo beleza?

Nessa questão recebemos a função:

y = x 2 + 2 x + 1

E, precisamos determinar quais os intervalos em que y = f ( x ) é positiva ou negativa.

Para isso, é importante a gente perceber que a função f ( x ) trata-se de uma equação do 2 ° grau, ou seja, seu gráfico é de uma parábola.

Como o termo que multiplica x 2 é positivo, a função deve ser negativa entre as raízes, nula nas raízes, e positiva no intervalo restante.

Se a função não tiver raízes, ou tiver uma raiz dupla, precisaremos olhar pro valor justamente desse termo que multiplica x 2 pra determinar a solução.

Então vamos lá, colocar a mão na massa! 😊

Passo 2

Bom, pra começar vamos calcular as raízes da equação do segundo grau que representa f ( x ) .

x 2 + 2 x + 1 = 0

Essa equação representa o produto notável do quadrado da soma, lembram?

x + a 2 = x 2 + 2 x a + a 2

Nesse caso, temos a = 1 .

Logo, podemos fatorar a expressão como sendo:

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Agora é tranquilo analisarmos as raízes dessa equação. Para zerar a equação acima, basta a gente fazer:

x = - 1

Além disso, esse é o único valor que zera a expressão:

x + 1 2

Por isso, concluímos que:

x = - 1

É uma raiz dupla!

Sendo assim, precisamos olhar para o termo que multiplica x 2 , ou seja, o coeficiente a .

Como na nossa equação a > 0 , temos que f ( x ) é sempre positivo, exceto em x = - 1 , onde a função é nula.

x ≠ 1 → f x   é   p o s i t i v a   x = 1 → f x   é   n e g a t i v a

E aí galera, pegaram a ideia?

Obrigado pela atenção e até a próxima 😊

Resposta

x ≠ 1 → f x   é   p o s i t i v a   x = 1 → f x   é   n e g a t i v a

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