Diga quais das funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, considerando ℝ como contra-domínio para todas elas.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado pede para analisarmos se as funções que tem os seguintes gráficos

são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, tomando como contradomínio todos os reais. Mas o que são estas coisas? Uma função injetora é aquela que para todo valor de x você obtém um único valor de f ( x ) exclusivo para a sua escolha de x . Uma função é sobrejetora se o subconjunto imagem, for igual ao conjunto contradomínio, isso depende da nossa escolha, aqui iremos usar o contradomínio como os reais. A função bijetora é tanto injetora quanto bijetora! Vamos tentar analisar isso um a um! Saca só!

Passo 2

Para a função ( a ) que tem gráfico

podemos dizer que ela não é injetora, sequer é sobrejetora. Note que a imagem (ou o gráfico) vai até um valor máximo e mínimo de y onde se torna constante, portanto, com certeza o subconjunto imagem é menor que o contradomínio que toma todo o eixo y . Note também que quando o gráfico se torna horizontal, todo valor de x irá levar ao mesmo valor de y , portanto, existem diversos x que levam ao mesmo f ( x ) . Essa função não é injetora, nem sobrejetora, e portanto, não é bijetora! Vamos para a próxima agora!

Passo 3

Para ( b ) que tem gráfico

Note que todo valor de x resulta em um valor diferente para f ( x ) = y , portanto, a função é injetora! Ela também é sobrejetora, note que os valores possíveis de y vão do topo do eixo vertical ( + ∞ ) até a base do eixo vertical ( - ∞ ) , sem pular nenhum valor, portanto, o subconjunto imagem é igual ao contradomínio. Se ela é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora! Vamos para a próxima!

Passo 4

Para ( c ) que tem gráfico

Novamente, esta função não é injetora, nem é sobrejetora. Ela não pode ser injetora pois é uma função que é simétrica em relação ao eixo y , desta forma, valores simétricos de x levam ao mesmo valor de f ( x ) (Adiciono aqui que nenhuma função “par” pode ser injetora!!!). Ela não é sobrejetora pois tem um mínimo no eixo y , ou seja, existe todo um grupo de valores reais que não pertencem a imagem! Se ela não é injetora, nem sobrejetora, não pode ser bijetora! Mais um!

Passo 5

Para ( d ) que tem gráfico

Essa função não é injetora, mas ela é sobrejetora! Uma maneira de notar se uma função é injetora é ver se é possível traçar uma linha horizontal que cruze o gráfico mais de uma vez, se for possível, ela não é injetora, note que é possível traçar uma horizontal que cruza o gráfico em três pontos, portanto, existem ao menos três valores de x que resultam no mesmo f ( x ) . No entanto, ela é sobrejetora, note que o gráfico vai de - ∞ até + ∞ no eixo y sem pular nenhum valor, portanto, a imagem é igual aos reais, que é nosso contradomínio! A função não é injetora, portanto, não é bijetora! Faltam apenas dois agora! Vamos lá!

Passo 6

Para ( e ) que tem gráfico

Esta função é injetora, mas não é sobrejetora! Note que todo valor de x está relacionado a apenas um resultado no eixo y ! Mas a função não é sobrejetora, toda a parte abaixo do eixo x não faz parte da imagem, e faz parte do contradomínio, que é os reais! Se a função não é sobrejetora, também não pode ser bijetora! Falta apenas mais uma! Vamo que vamo!

Passo 7

Para ( f ) que tem gráfico

Essa função é injetora e sobrejetora! Note que todo x pertencente ao domínio da função leva a um f ( x ) diferente, portanto, a função é injetora! Ela também é sobrejetora já que o gráfico vai de - ∞ no eixo y até + ∞ , portanto, a imagem é igual aos reais! Se a função é injetora e sobrejetora, ela é bijetora! Uff… Foram todas! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a ) Não é Injetora nem sobrejetora portanto não é bijetora.

( b ) É injetora e sobrejetora portanto é bijetora.

( c ) Não é injetora nem sobrejetora portanto não é bijetora.

( d ) Não é injetora, mas é sobrejetora, não é bijetora.

( e ) É injetora, mas não é sobrejetora, não é bijetora.

( f ) É injetora e sobrejetora, portanto, é bijetora.

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