Determine o domínio maximal D das seguintes funções f : D → R , em que D ⊂ R

f x = 1 + x - x 2

Passo 1

O domínio maximal é o maior domínio que podemos pegar para função.

Para encontra-lo, temos que olhar os casos onde a função não existiria.

São 3:

  1. Denominador ≠ 0
  2. Radicando ≥ 0
  3. Logaritmando > 0

Lembrando que o radicando é a expressão dentro da raiz de par, e o logaritmando é o valor dentro do Log.

Passo 2

Aqui, temos uma raiz quadrada, então o valor dentro dela, o radicando, precisa ser maior ou igual a zero

1 + x - x 2 ≥ 0

Temos que abrir os dois módulos

primeiro vamos pegar x - 1

x + 1 = x + 1 , x - 1 ≥ 0 - x + 1 , x - 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

x + 1 ≥ 0

x ≥ - 1

E

x + 1 < 0

x < - 1

Resultando em

x + 1 = x + 1 , x ≥ - 1 - x + 1 , x < - 1

x + 1 = x + 1 , x ≥ - 1 - x - 1 , x < - 1

O outro módulo não precisamos nem abrir, isso porque x 2 é sempre positivo.

A nossa inequação vai ficar

x + 1 - x 2 ≥ 0 , x ≥ - 1 - x - 1 - x 2 ≥ 0 , x < - 1

E a solução vai ser a união delas duas.

Vamos resolver cada uma separadamente

Passo 3

Com x ≥ - 1

x + 1 - x 2 ≥ 0

isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

x + 1 - x 2 = 0

- x 2 + x + 1 = 0

x = - 1 ± 1 2 - 4 1 - 1 2 - 1

x = - 1 ± 1 + 4 - 2

x = - 1 ± 5 - 2

AS raízes vão ser

x 1 = 1 - 5 2

E

x 2 = 1 + 5 2

Como a < 0 , o seu gráfico será algo assim

Entre as raízes é negativo e fora é positivo.

Como ele quer a parte positiva, vamos pegar

1 - 5 2 , 1 + 5 2

Passo 4

Com x < - 1

- x - 1 - x 2 ≥ 0

isso é uma função de segundo grau.

Vamos começar achando suas raízes

- x - 1 - x 2 = 0

- x 2 - x - 1 = 0

x = - - 1 ± - 1 2 - 4 - 1 - 1 2 - 1

x = 1 ± 1 - 4 - 2

x = 1 ± - 3 - 2

Opa, aquela raiz quadrada deu negativa, então ele vai vai ter solução real.

Como a < 0 , toda a função será negativa.

Ele quer a parte que ela é positiva, mas nesse intervalo não vai existir.

Passo 5

O nosso domínio vai ser

D = x ∈ R 1 - 5 2 ≤ x ≤ 1 + 5 2

Resposta

D = x ∈ R 1 - 5 2 ≤ x ≤ 1 + 5 2

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