Determine o domínio.

g) f x = x 3 - x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o domínio da função que ele nos deu. E aí a gente tem sempre que pensar nos valores que x pode assumir na função, esse será nosso domínio.

Mas pra pensar nos valores que x pode assumir, nós temos que pensar também nos valores que ele não pode assumir, ou seja, as restrições da função. Isso significa que a gente tem sempre que garantir que:

- nas frações o denominador não pode valer zero;

- dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo;

- o valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo.

Então, vamos verificar em qual caso cai nossa função, definir suas restrições e, assim, encontrar seu domínio.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 3 - x ,

Como a gente tem uma raiz quadrada, nós sabemos que o que tá dentro dela precisa ser positivo, ou seja, maior ou igual a zero. Assim, nós temos a restrição:

x 3 - x ≥ 0

Colocando x em evidência:

x x 2 - 1 ≥ 0

Abrindo o produto notável:

x x + 1 x - 1 ≥ 0

Agora, como temos um produto, precisamos analisar a condição da desigualdade fazendo o estudo de sinal de cada termo. Assim, montando a nossa tabelinha de estudo de sinal, temos:

Lembrando que pra montar a tabela, nós calculamos as raízes de cada termo e, como x é positivo em cada expressão, consideramos negativo antes da raiz e positivo depois, já que a função é crescente. Depois multiplicamos os sinais e colocamos o resultado na primeira linha.

Assim, repare que pra nossa condição, x x + 1 x - 1 ≥ 0 , temos os intervalos:

- 1 ,   0 ∪ [ 1 ,   + ∞ )

E esses intervalos definem nosso domínio:

D f = x ∈ R   | - 1 ,   0 ∪ [ 1 ,   + ∞ )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D f = x ∈ R   | - 1 ,   0 ∪ [ 1 ,   + ∞ )

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