7. Seja f : R → R uma função satisfazendo 3 f x - 1 = x 2 + 4 x - 4 . A lei que define f é dada por:

  1. f x = x 2 - 8 x + 8 2
  2. f x = x 2 - 8 x + 8 3
  3. f x = x 2 + 6 x + 1 3  
  4. f x = x 2 + 4 x - 4 3
  5. f x = x 2 + 4 x - 4 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos uma equação que está em função de x - 1 e queremos achar f x .

Para fazer isso, temos que lembrar que para uma f x qualquer, temos a seguinte equação geral

f x = a x 2 + b x + c

Onde, a , b e c são constantes que vamos precisar descobrir. Então vamos precisar relacionar essa equação genérica com a nossa

3 f x - 1 = x 2 + 4 x - 4

E vemos o que podemos concluir dai. Bora lá!

Passo 2

A diferença entre f x - 1 e f x é que na primeira temos um - 1 somando x . Então para deixar nossas f iguais, vamos fazer x - 1 na nossa f x .

A nossa f x é

f x = a x 2 + b x + c

Fazendo f x - 1 ficamos com

f x - 1 = a x - 1 2 + b x - 1 + c

f x - 1 = a x 2 - 2 x + 1 + b x - 1 + c

f x - 1 = a x 2 - 2 a x + a + b x - b + c

Ajeitando os termos ficamos com

f x - 1 = a x 2 + - 2 a + b x + a - b + c

Agora vamos igualar com que a função dada no enunciado!

Passo 3

O problema nos forneceu a seguinte informação,

3 f x - 1 = x 2 + 4 x - 4

Isolando f x - 1

f x - 1 = x 2 + 4 x - 4 3

Igualando as funções,

x 2 + 4 x - 4 3 = a x 2 + - 2 a + b x + a - b + c

x 2 + 4 x - 4 = 3 a x 2 + - 2 a + b x + a - b + c

x 2 + 4 x - 4 = 3 a x 2 + 3 - 2 a + b x + 3 a - b + c

Separando os termos ficamos com

x 2 = 3 a x 2 4 x = 3 - 2 a + b x - 4 = 3 a - b + c

Agora vamos descobrir quanto vale cada termo!

Passo 4

Começando por a , temos a seguinte igualdade

x 2 = 3 a x 2

Logo,

a = 1 3

Para descobrir b , vamos para a segunda igualdade.

4 x = 3 - 2 a + b x

Simplificando x e lembrando que a = 1 3 , ficamos com

4 = 3 - 2 1 3 + b

b = + 2

Por fim, vamos usar a ultima igualdade para achar c ,

- 4 = 3 a - b + c

Como a = 1 3 e b = + 2 , ficamos com

- 4 = 3 1 3 - 2 + c

c = + 1 3

Passo 5

Agora que já sabemos quanto vale cada constante podemos substituir na equação,

f x = a x 2 + b x + c

Substituindo,

f x = 1 3 x 2 + 2 x + 1 3

Ajeitando,

f x = x 2 + 6 x + 1 3

Prontinho!

Resposta

c

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