Enunciado

Determine o conjunto imagem da função

f : N → Z , f n = - 1 n n

Passo 1

A imagem são os valores de Z , onde existe um natural n onde - 1 n n é o inteiro.

Como vamos fazer isso? Precisamos analisar isso com calma.

Vamos começar entendendo aquele - 1 n . Aqui só temos duas alternativas:

  1. Ele ser 1
  2. Ele se - 1

Ele vai ser 1 quando n for p a r e - 1 quando n for ímpar.

Então vamos ter

f 2 k = 2 k

E

f 2 k + 1 = - 2 k + 1

Passo 2

Vimos a situação daquela - 1 n , mas repara o n é par ou ímpar.

Então a imagem são os números pares

f 2 k = 2 k

E os números ímpares negativos

f 2 k + 1 = - 2 k + 1

Podemos escrever isso de duas formas

I m f = … , - 9 , - 7 , - 5 , - 3 , - 1,0 , 2,4 , 6,8 , …

Ou escrever

I m f = 2 k k ∈ N } ∪ { - 2 k + 1 k ∈ N

Resposta

Podemos escrever isso de duas formas

I m f = … , - 9 , - 7 , - 5 , - 3 , - 1,0 , 2,4 , 6,8 , …

Ou escrever

I m f = 2 k k ∈ N } ∪ { - 2 k + 1 k ∈ N

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