S e j a   f ( x )   =   ( x   +   6 ) e 1 / x . Para quais valores de k a equação f ( x )   =   k tem exatamente duas

soluções reais?

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos Determinar para quais valores k a equação f ( x )   =   k tem soluções reais, onde

f ( x )   =   ( x   +   6 ) e 1 / x

Bem, vamos resolver!!!

Passo 2

Para termos duas soluções reais, para a equação abaixo

k =   ( x   +   6 ) e 1 / x

precisamos cruzar o eixo x duas vezes, ou seja, precisamos ter variações no sinal da derivada. Vamos fazer o estudo de sinal da derivada de

( x   +   6 ) e 1 / x

Derivando

e 1 / x - x + 6 x ² e 1 / x = e 1 / x ( x ² - x - 6 ) / x ²

Note que o sinal da derivada é determinado exclusivamente por

( x ² - x - 6 )

Logo, temos que a função é decrescente de - 2   a   3

e crescente no restante.

Dessa forma, podemos fazer o seguinte esboço da nossa função

Passo 3

Ou seja, para termos duas soluções, para

( x   +   6 ) e 1 / x - k = 0

podemos transladar o gráfico para baixo até antes do ponto onde uma das derivadas é zero. Que como vimos no passo anterior. São os pontos - 2   e   3

Logo, como o valor da função em - 2 é 4 e - 1 / 2 temos que

0 < k < 4 e - 1 / 2

Agora, também podemos ter mais soluções ao descermos o gráfico a ponto de tocar o ponto onde a segunda derivada é zero, que ocorre quando x = 3 . E como o valor da função nesse ponto é 9 e 1 / 3

Temos que

9 e 1 / 3 < k

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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