Considere a função f

f : N → Z , f n = - 1 n n

Determine o conjunto imagem da função

g : N → Z ,   g n = f n + f n + 1

Passo 1

Vamos começar entendendo como é a função f , ou seja, ver a sua imagem.

A imagem são os valores de Z , onde existe um natural n onde - 1 n n é o inteiro.

Como vamos fazer isso? Precisamos analisar isso com calma.

Vamos começar entendendo aquele - 1 n . Aqui só temos duas alternativas:

  1. Ele ser 1
  2. Ele se - 1

Ele vai ser 1 quando n for p a r e - 1 quando n for ímpar.

Então vamos ter

f 2 k = 2 k

E

f 2 k + 1 = - 2 k + 1

Passo 2

Vimos a situação daquela - 1 n , mas repara o n é par ou ímpar.

Então a imagem são os números pares

f 2 k = 2 k

E os números ímpares negativos

f 2 k + 1 = - 2 k + 1

Vamos agora olhar para a função g n

Passo 3

g n = f n + f n + 1

Se o n for par, vamos ter

g 2 k = f 2 k + f 2 k + 1

g 2 k = 2 k - 2 k + 1

g 2 k = 2 k - 2 k - 1

g 2 k = - 1

Se o n for ímpar, vamos ter

g 2 k + 1 = f 2 k + 1 + f 2 k + 2

MAS aquele 2 k + 2 é par, então

g 2 k + 1 = - 2 k + 1 + 2 k + 2

g 2 k + 1 = - 2 k - 1 + 2 k + 2

g 2 k + 1 = 1

A imagem da g vai ser apenas o 1 e o - 1

I m g = - 1,1

Resposta

I m g = - 1,1

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