Determine o domínio maximal D das seguintes funções f : D → R , em que D ⊂ N

f n = 1 + n - n 2

Passo 1

O domínio maximal é o maior domínio que podemos pegar para função.

Para encontra-lo, temos que olhar os casos onde a função não existiria.

São 3:

  1. Denominador ≠ 0
  2. Radicando ≥ 0
  3. Logaritmando > 0

Lembrando que o radicando é a expressão dentro da raiz de par, e o logaritmando é o valor dentro do Log.

Passo 2

Aqui, temos uma raiz quadrada, então o valor dentro dela, o radicando, precisa ser maior ou igual a zero

1 + n - n 2 ≥ 0

Temos que abrir os dois módulos

primeiro vamos pegar n - 1

n + 1 = n + 1 , n - 1 ≥ 0 - n + 1 , n - 1 < 0

Resolvendo aquela inequação, vamos ter

n + 1 ≥ 0

n ≥ - 1

E

n + 1 < 0

n < - 1

Mas como n é natural, ele só vai existir no primeiro intervalo, então

n + 1 = n + 1

O outro módulo não precisamos nem abrir, isso porque n 2 é sempre positivo.

A nossa inequação vai ficar

1 + n - n 2 ≥ 0

Passo 3

isso é uma função de segundo grau, vamos resolver como se fossem nos reais e depois vemos quais naturais estão no itnervalo

x + 1 - x 2 ≥ 0

Vamos começar achando suas raízes

x + 1 - x 2 = 0

- x 2 + x + 1 = 0

x = - 1 ± 1 2 - 4 1 - 1 2 - 1

x = - 1 ± 1 + 4 - 2

x = - 1 ± 5 - 2

AS raízes vão ser

x 1 = 1 - 5 2

E

x 2 = 1 + 5 2

Como a < 0 , o seu gráfico será algo assim

Entre as raízes é negativo e fora é positivo.

Como ele quer a parte positiva, vamos pegar

1 - 5 2 , 1 + 5 2

Passo 4

Vamos tentar ver quais naturais estão ali.

Primeiro, podemos ver que

5 > 2

Então

1 - 5 2 < 1 - 2 2

1 - 5 2 < - 1

O primeiro natural será o 0

Vamos olhar a outra parte do intervalo, como isso vai ser limitado, basta testarmos os próximos naturais até não funcionar mais

n = 1 → 1 + n - n 2 = 1 + 1 - 1 = 1 ≥ 0

n = 2 → 1 + n - n 2 = 1 + 2 - 4 = - 1

Opa, esse n = 2 já falhou

Os naturais vão ser só o 0 e o 1 .

D = 0,1

Resposta

D = 0,1

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