Exercícios Resolvidos de Introdução às funções

MVP UFF - Assunto 1 - E_20

Determine o domínio da seguinte função:

f x = x 2 + 7 x + 12 + 4 - x 2 x + 2

Passo 1

Para acharmos o domínio dessa função precisamos ver as restrições que ela tem. Repara que tem 2 raiz quadradas ali né? Então queremos que o cara dentro de cada uma delas seja maior ou igual a 0 . Além disso, temos uma expressão no denominador, também queremos que ela seja diferente de 0 .

A primeira coisa que vamos fazer é o denominador,

x + 2 0

x - 2

Para a parte das raízes, basta fazermos a análise de sinal da função de 2 º grau ali dentro da primeira e fazer a análise de sinal da outra função dentro da raiz. Mas perai, que diabos é aquela função ali dentro da raiz? Vamos começar tentando dar uma arrumada nela em algo que sabemos fazer até agora.

Vamos olhar só o cara dentro da raiz

4 - x 2 x + 2

Opa, mas temos um produto notável ali em cima, vamos arrumar ele

2 + x 2 - x x + 2 = 2 - x

Lembra sempre que o x continua não podendo ser - 2 , essa simplificação que eu fiz só vale se o x não for - 2 . Esse é um detalhe importante nesse domínio. No fim vamos relembrar isso com toda a resposta.

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Passo 2

Vamos começar fazendo a análise de sinal da parte da função de 2 º grau, que é

x 2 + 7 x + 12 0

Para isso temos que fazer o gráfico e olhar como fica o sinal. Para fazer o gráfico precisamos:

  1. Achar as raízes dessa função
  2. Achar a concavidade dessa função

Vamos começar com a raiz, que vai ser

f x = 0

Então

x 2 + 7 x + 12 = 0

x = - 7 ± 7 2 - 4 1 12 2 = - 7 ± 49 - 48 2 = - 7 ± 1 2 = - 7 ± 1 2

Assim vamos ter

x 1 = - 7 + 1 2 = - 6 2 = - 3

x 2 = - 7 - 1 2 = - 8 2 = - 4

Passo 3

Agora vamos para o segundo passo, que é achar a concavidade dessa função, repara que temos

a = 1

b = 7

c = 12

Assim, como a > 0 , essa função é côncava para cima

Passo 4

Beleza, agora que sabemos essas duas informações podemos fazer o esboço do gráfico. Quando fizemos gráfico antes nós completávamos o gráfico com os outros dois pontos importantes, mas como aqui só queremos ver o sinal, não vamos achar esses pontos porque são contas a mais.

O esboço do gráfico vai ficar

Podemos perceber então que entre as raízes ele vai ser negativo, e na outra parte vai ser positivo, vamos deixar isso um pouco mais claro

Beleza, achamos os sinais, agora vamos ver qual ele pede. Ele quer que essa função seja positiva para poder ter a raiz quadrada, assim, para essa parte precisamos ter

  x - 4 o u x - 3

Passo 5

Vamos agora para a função de primeiro grau que achamos fazendo aquela simplificação

2 - x 0

Essa função é de 1 º grau, além disso, ela é decrescente certo? Isso porque a = - 1 < 0 , assim seu gráfico é algo desse tipo

Repara que não coloquei nenhum valor, além disso, não fique muito atento a precisão do gráfico, isso é só um esboço bem básico mesmo. Como vimos na teoria depois do ponto onde y = f x = 0 a nossa função vai ser negativa, e antes vai ser positiva. Temos que achar a raiz, que é de boa né?

2 - x = 0

x = 2

Assim vamos ter

2 - x 0 , x 2 2 - x < 0 . x > 2

Como ele quer que essa função seja maior ou igual a 0 , para assim ela poder ter a raiz quadrada, vamos ter,

x 2

Passo 6

Vamos juntar as três coisas agora, não esqueça do x - 2

  x - 4 o u x - 3

x 2

x - 2

Queremos que ele obedeça as 3 condições, assim olhando para as duas primeiras podemos juntar elas na parte que vale para ambas, que vai ser

- 3 x 2

Mas perai, queremos que x - 2 , e esse - 2 está no intervalo que achamos aqui em cima, assim temos que excluir ele, temos duas foras de fazer, escrever do lado, ou deixar assim

- 3 x < - 2 o u - 2 < x 2

Escrevendo bonitinho, temos as duas formas

D = x R - 3 x 2 ; x - 2

Ou

D = x R - 3 x < - 2 o u - 2 < x 2

Mas não nos esqueçamos de que x - 4 também, hein:

D = x R x - 4 o u - 3 x < - 2 o u - 2 < x 2

Resposta

D = x R x - 4 o u - 3 x < - 2 o u - 2 < x 2

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