7.26. (P2, 2016) Seja f x = e 2 x 3 + 9 x 2 definida no intervalo fechado - 5,1 . Se a é o valor máximo de f e se b é o valor mínimo de f , então o produto a b é

a. e 27 ;

b. e - 14 ;

c. e 2 ;

d. e - 27 ;

e. e - 38 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter o produto entre o ponto máximo e o ponto mínimo da função f x = e 2 x 3 + 9 x 2 dentro do intervalo - 5,1 .

E aí, tem ideia do que fazer? 😐

Pra obter esses pontos, vamos usar o método dos pontos críticos. O segredo é obter a derivada da função f x e igualá-la a 0 , assim vamos obter os valores em x no qual há pontos críticos em f x . Substituindo esses valores de x em f , podemos compará-los e ver qual é o maior e qual é o menor.

Porém, como o intervalo de análise é fechado, temos que considerar os valores de x apenas que estiverem nesse intervalo. Além disso, temos que analisar a fronteira do nosso intervalo, ou seja, temos que calcular o valor da função em x = - 5 e am x = 1 e comparar com os valores encontrados.

Tranquilo? Bora lá! 😬

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f x

f ' x = d e 2 x 3 + 9 x 2 d x

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d 2 x 3 + 9 x 2 d x d e u d u

f ' x = 6 x 2 + 18 x e u

f ' x = 6 x 2 + 18 x e 2 x 3 + 9 x 2

Igualando a 0 , temos

f ' x = 6 x 2 + 18 x e 2 x 3 + 9 x 2 = 0

6 x 2 + 18 x e 2 x 3 + 9 x 2 = 0

Como o termo e 2 x 3 + 9 x 2 nunca é igual a 0 , então a única opção é que 6 x 2 + 18 x = 0 para a equação ser satisfeita.

6 x 2 + 18 x = 0

x 6 x + 18 = 0 → x = 0 x = - 3

Assim encontramos dois candidatos para x onde f é máximo e/ou mínimo.

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos calcular a imagem de f nesses pontos que encontramos e nos limites do intervalo.

Para x = 0

f 0 = e 2 0 3 + 9 0 2

f 0 = e 0

f 0 = 1

Para x = - 3

f - 3 = e 2 - 3 3 + 9 - 3 2

f - 3 = e 2 - 27 + 9 9

f - 3 = e 27

Agora obtendo os valores nos extremos do intervalo

Para x = - 5

f - 5 = e 2 - 5 3 + 9 - 5 2

f - 5 = e 2 - 125 + 9 25

f - 5 = e - 25

E por fim em x = 1

f 1 = e 2 1 3 + 9 1 2

f 1 = e 2 + 9

f 1 = e 11

Dessa forma, vemos que o ponto máximo é dado em x = - 3 , onde

a = e 27

E o ponto mínimo em x = - 5 , onde

b = e - 25

Portanto, o produto a b é

a b = e 27 e - 25

a b = e 27 - 25

a b = e 2

Logo, a alternativa correta é a letra c)

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

c) a b = e 2

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)