Ache o ponto de mínimo de

  f ( x )   =   e x / x

no intervalo ] 0 ,   + ∞ [ . Use isso para provar que

e a + b a b   ≥   e ²

, para todos a   >   0   e   b   >   0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos Determinar o ponto de mínimo de

  f ( x )   =   e x / x

e usar isso para provar que

e a + b a b   ≥   e ²

, para todos a   >   0   e   b   >   0

Bem, vamos resolver!!!

Passo 2

Vamos começar calculando o mínimo de

  f ( x )   =   e x / x

derivando usando a regra da divisão e igualando a zero, temos:

  f ' ( x )   =   ( e x x - e - x ) / x ²

=   e x ( x - 1 ) / x ²

Que vale zero somente quando x = 1

Logo, o menor valor para

  f ( x )   =   e x / x

ocorre quando x = 1 . E esse valor é:

e

Passo 3

Agora que sabemos que

  e x / x ≥ e   ∀   x >   0 temos:

  e a / a * e b / b ≥ e * e     ���   x >   0

Logo

e a + b a b   ≥   e ²

temos:

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)