Admitindo as propriedades das funções potências, é possível resolver esse exercício sem o auxílio computacional?

Passo 1

Oiiie, tudo certinho contigo?

Que enunciado misterioso não é? Ele está referenciando o exercício 9 desta mesma lista, em que deveríamos usar elementos gráficos para identificar os intervalos de crescimento e decrescimento das funções

f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 4 x - 8 ,   x ∈ ℝ e g ( x ) = 2 x 2 - 12 x   + 20 x 2 - 6 x + 9 ,   x ∈ ℝ - { - 3 }

Será que conseguimos determinar o crescimento destas funções usando apenas propriedades das funções potência? Vamos discutir um pouco isso!

Passo 2

A primeira função é um polinômio de grau 3 que pode ser escrito da seguinte forma

h ( x ) = f ( x ) - 8 = x [ x 2 - 2 x + 4 ]

o lado direito é o produto de um polinômio de grau 1 com um polinômio de grau 2 . O primeiro é uma reta de inclinação α = 1 e o segundo uma parábola com concavidade para cima a = 1 > 0 . As raízes do segundo polinômio são obtidas por Bhaskara como

x ± = - ( - 2 ) + 4 - 4 ( 1 ) ( 4 ) 2 ( 1 ) = 1 ± 2 3 i

Temos que o mínimo desta parábola está em x = 1 , portanto este polinômio decresce até x = 1 e cresce após x = 1 . O polinômio de grau 1 é uma reta crescente então ela está sempre crescendo. é possível garantir que no intervalo

( 1 , + ∞ )

o produto de ambas as funções é crescente! Pois, ambas as funções são crescentes! No entanto, no intervalo

( - ∞ , 1 )

precisamos de cálculo diferencial para determinar o crescimento da função, já que uma função cresce e outra decresce! Ou verificar valores! Vamos analisar agora a outra função!

Passo 3

Temos agora a razão de dois polinômios de grau 2 , da forma

g ( x ) = 2 x 2 - 12 x   + 20 x 2 - 6 x + 9

Ambos têm concavidade para cima pois nos dois casos temos a > 0 . As raízes do polinômio do numerador são

x ± = - ( - 12 ) ± 144 - 4 ( 2 ) ( 20 ) 2 ( 2 ) = - 3 ± 4 i

portanto, a parábola no numerador está decrescendo no intervalo

( - ∞ , - 3 )

e crescendo no intervalo

( - 3 , ∞ )

O polinômio do denominador tem raízes em

x ± = - ( - 6 ) ± 36 - 4 ( 1 ) ( 9 ) 2 ( 1 ) = 3

então a função é decrescente no intervalo

( - ∞ , 3 )

e, crescente no intervalo

( 3 ,   + ∞ )

ou seja, podemos garantir o decrescimento no intervalo ( - ∞ , - 3 ) , e o crescimento no intervalo ( 3 , ∞ ) , mas no intervalo intermediário

( - 3,3 )

precisaríamos de ferramentas mais sofisticadas de cálculo diferencial! Mas, é possível sim determinar os intervalos de crescimento sem olhar o gráfico!

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Sim, é possível, mas pode ser necessário usar de ferramentas mais sofisticadas de cálculo diferencial!

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