A altura de um objeto que se desloca verticalmente é dada por

h ( t )   =   - 16 t 2   +   96 t   +   112 ,

com h em m e t em segundos. Determine: (b) sua altura máxima e quando esta ocorre;

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos dá uma função do tempo que para cada instante t retorna a altura de um objeto. Bem, para descobrir o extremo de uma função, precisamos encontrar o valor de t para o qual a taxa de variação da função é nula. A gente sabe que a taxa de variação da posição em relação ao tempo nada mais é do que a velocidade do objeto. Então, no final das contas, o que queremos descobrir é o ponto no qual a velocidade do objeto é nula: nesse ponto o objeto atinge sua altura máxima e seu movimento se inverte, onde ele começa o movimento de descida. Então vamos lá calcular a derivada!

Passo 2

Como a derivada de uma soma de polinômios é simplesmente a derivada de cada polinômio somado e, como a derivada de um polinômio de grau n é d d t a × t n =   a × n × x n - 1 , onde a é uma constante arbitrária, temos que a nossa função velocidade em função do tempo é simplesmente

v ( t )   =   d d t h ( t ) =   - 32 t   +   96

Agora ficou fácil determinar a velocidade para qualquer instante de tempo! Como a gente quer o valor de t tal que v(t) = 0, só precisamos igualar a expressão da derivada à zero!

v ( t )   =   0   =   - 32 t + 96   =   0   ⇔   t   =   96 32 = 3   s

Então, temos que o objeto atinge sua altura máxima em 3 segundos. Nesse ponto sua velocidade é nula e ele começa o movimento de queda. Mas qual é o valor da altura máxima atingida exatamente? Bem, pra descobrir isso, só precisamos substituir o valor do tempo da altura máxima (3 segundos) na nossa função h(t) da posição! Fazendo isso, a gente acha 256 m para a altura máxima:

h ( 3 )   =   - 16 × 3 2 + 96 × 3 + 112   = 256   m  

Resposta

h m á x = 256   m

t   =   3   s

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)