A altura de um objeto que se desloca verticalmente é dada por

h ( t )   =   - 16 t 2   +   96 t   +   112 ,

com h em m e t em segundos. Determine: (c) sua velocidade quando h   =   h   ( t )   =   0 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos dá uma função do tempo que para cada instante t retorna a altura de um objeto. Bem, a gente sabe que a taxa de variação da posição em relação ao tempo nada mais é do que a velocidade do objeto. Então, no final das contas, o que precisamos descobrir é a função derivada de h(t) para obtermos uma função que, a cada instante de tempo t, vai nos dizer qual é a velocidade do objeto. Assim, podemos descobrir qual a velocidade do corpo quando a altura atingida por ele é nula. Então vamos lá calcular a derivada!

Passo 2

Como a derivada de uma soma de polinômios é simplesmente a derivada de cada polinômio somado e, como a derivada de um polinômio de grau n é d d t a × t n =   a × n × x n - 1 , onde a é uma constante arbitrária, temos que a nossa função velocidade em função do tempo é simplesmente

v ( t )   =   d d t h ( t ) =   - 32 t   +   96

Agora ficou fácil determinar a velocidade para qualquer instante de tempo! Mas afinal, quando o objeto atinge altura igual à zero? Para descobrir o instante de tempo, só precisamos igualar a posição h(t) à zero! Assim, a gente ach

h ( t )   =   0   =   - 16 t 2 + 96 t + 112

Os instantes de tempo de altura nula serão, as raízes do polinômio de segundo grau, que são dadas por

t 1 =   - 96   +   ( - 96 ) 2 + 4 × 16 × 112 2 × ( - 16 ) =   - 1   s

x t =   - 96   -   ( - 96 ) 2 + 4 × 16 × 112 2 × ( - 16 ) =   7 s

Como consideramos que o movimento começa em t=0, a única raiz que possui significado físico é t = 7s. Então, para descobrir quanto vale a velocidade do objeto quando ele atinge altura nula (em 7 s), só precisamos substituir t = 7s na expressão obtida para a velocidade em função do tempo. Assim, achamos

v ( 7 ) =   - 32 × 7   +   96   =   - 128   m / s

Esse resultado nos diz que, ao atingir o chão, a taxa de variação da posição em relação ao tempo é -128 m/s, o que é consistente com o movimento de queda do objeto e, por isso, o valor negativo para a velocidade.

Resposta

v   =   - 128   m / s

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)