Analise os interalos de crescimento e decrescimento de f x = x + 1 x , definida em ( 0 , + ∞ ) , para concluir que:

x + 1 x ≥ 2 ,     ∀ x > 0 .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Para analisarmos os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função, devemos achar os pontos de x onde temos os máximos e mínimos locais e global dessa função. Colocando esse valor x que maximiza a função e colocarmos na função, sabemos que aquele é o ponto mínimo ou máximo. Ou seja, nenhum outro é maior ou menor dependendo dele ser máximo ou mínimo.

Parece um pouco confuso, mas com esse exemplo espero que fique mais claro.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos a função:

f x = x + 1 x

Se analisarmos sua derivada igualando a 0, podemos saber em que ponto de x ela é máxima. Assim:

f ' x = 1 - 1 x 2 = 0

x 2 - 1 x 2 = 0

x 2 - 1 = 0

x = ± 1

Mas pedem para vermos somente o valor onde x está em 0 , + ∞ , logo x = 1. E por ser positivo, ele é máximo global

Passo 3

Agora, como dito, se colocarmos esse valor na função, o tendo como máximo global, sabemos que nenhum outro é maior que ele, logo:

f 1 = 1 + 1 1 = 2

Logo:

x + 1 x ≥ 2

Resposta

A resolução está no passo a passo.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x